三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$となるための条件を$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$と内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$かつ$|\overrightarrow{a}|=1$のとき，$|\overrightarrow{b}|$のとりうる値の範囲を求めよ．

半径1の円Oの中心Oを通る直線上に$\text{OA}=2$となるように点Aを定める．点Aを通り，円Oと2点B，Cで交わるような直線を引き，$\text{AB}=\text{BC}$となるようにしたい．2直線のなす角$\theta = \angle \text{OAB} \ (0^\circ <\theta<30^\circ)$をどのように定めればよいか．次の手順で検討せよ．

(1)線分BCの中点をMとして，線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)同様に，線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である．これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{CA}=3$とする．この三角形の外接円の中心を$\mathrm{O}$，辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．ただし，$s,\ t$は実数とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$の式で表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$の式で表せ．
(2)$\mathrm{BC}=4$のとき，$\cos \theta$，$s$，$t$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\displaystyle s=\frac{2}{3}$のとき，$t$と$\cos \theta$の値を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

三角形の$3$辺の中点が$(-2,\ -1)$，$(3,\ 2)$，$(-1,\ 5)$であるとき，この三角形の$3$つの頂点のうち，最も大きい$y$座標をもつ頂点の$y$座標の値を求めよ．

座標平面上に直線$\ell:y=mx-4m$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．$m$は，$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるような値をとるとする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\ell$は$m$の値にかかわりなく，ある定点を通る．この点の座標を求めよ．
(2)$m$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$の軌跡を求め，座標平面上にそれを図示せよ．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[　]}{[　]}$である．

放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(b,\ b^2) (a<b)$を考える．$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$から$x$軸に下ろした垂線と$C$との交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

$a$は$0 \leqq a \leqq 1$を満たす実数とする．関数$y=|x-a|$のグラフと円周$x^2+y^2=1$の$2$交点の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くときの$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．