曲線$C_1:y=x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線が曲線$C_2:y=x^2-4$と交わる点をB，Cとする．ただし，Bの$x$座標はCの$x$座標より小さいとする．以下の問いに答えよ．

(1)線分BCの中点MおよびCの座標を$a$を用いて表せ．
(2)Mを通り$y$軸に平行な直線，線分MCおよび曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上で，直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって，点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする．ただし，$m$は0でない定数とし，点Pは$\ell$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．

$xy$平面上に直線$\ell:y=x+2$と曲線$C:y=1-x^2$がある．直線$\ell$上を動く点Pから曲線$C$に異なる2本の接線を引き，接点をQ，Rとする．線分QRの中点をMとするとき，次の問いに答えよ．

(1)点Pの$x$座標を$t$とし，2点Q，Rの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=2t$および$\alpha\beta=-(t+1)$を示せ．
(2)点Mの軌跡は曲線$y=-2x^2-x$であることを示せ．
(3)点Mの軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

1辺の長さが2の正三角形ABCがある．辺ABの中点をP，線分PBの中点をQ，辺BCを$2:1$に内分する点をR，線分PRと線分CQの交点をSとする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{AS}}|$の値を求めよ．
(5)三角形APSの面積を求めよ．

平面上の点P$_n$，Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める． \\
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$とする．

(1)三角形$\mathrm{OAB},\ \mathrm{OAC},\ \mathrm{OBC},\ \mathrm{ABC}$はすべて直角三角形であることを示せ．
(2)$\mathrm{OC}$の中点$\mathrm{M}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{N}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{CN}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表すときの$s,\ t$を，長さ$\mathrm{OA},\ \mathrm{OB}$で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は，1辺の長さが1の正三角形で，$t$は正の実数とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．直線$\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t \overrightarrow{c}$をみたしている．正三角形$\triangle \mathrm{ADE}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．

平面上に大きさが1のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさが2のベクトル$\overrightarrow{b}$があり，そのなす角が$60^\circ$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \ (k \neq -1)$となる$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{Q}$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{C}$を通る直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす$l$を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

空間上に相異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交している．次の問いに答えよ．

(1)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \]
となることを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする．
(2)(1)を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする．このとき線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$またはその延長上に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．次を証明せよ．

(1)$\angle \mathrm{LHN}=\angle \mathrm{A}$
(2)$4$点$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{H}$は同一円周上にある．