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私立 東北工業大学 2011年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，各辺の長さは$\mathrm{BC}=2 \sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{10}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{5}$である．このとき，
(1)$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{[ ]}}{10}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を引き，この垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とすれば，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ ] \sqrt{65}}{65}$である．
(4)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすれば，線分$\mathrm{AE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(5)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$の長さは$4 \sqrt{13}-2 \sqrt{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{[ ]}}{10}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を引き，この垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とすれば，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ ] \sqrt{65}}{65}$である．
(4)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすれば，線分$\mathrm{AE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(5)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$の長さは$4 \sqrt{13}-2 \sqrt{[ ]}$である．
私立 大同大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ] \sqrt{[ ]}-[ ]}$
$\displaystyle \hspace{27mm} =\frac{[ ]+[ ] \sqrt{2}+[ ] \sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ]}$
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[ ]}{[ ]}$，$\mathrm{AC}=[ ]$，$\mathrm{BC}=[ ] \sqrt{7}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}=[ ]$である．
(3)$10$個の製品の中に不良品が$3$個含まれている．これらから無作為に$4$個の製品を取り出すとき，含まれる不良品の個数を$X$で表す．$X=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$，$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ] \sqrt{[ ]}-[ ]}$
$\displaystyle \hspace{27mm} =\frac{[ ]+[ ] \sqrt{2}+[ ] \sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ]}$
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[ ]}{[ ]}$，$\mathrm{AC}=[ ]$，$\mathrm{BC}=[ ] \sqrt{7}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}=[ ]$である．
(3)$10$個の製品の中に不良品が$3$個含まれている．これらから無作為に$4$個の製品を取り出すとき，含まれる不良品の個数を$X$で表す．$X=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$，$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
私立 大同大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$t=\log_2 x$とおく．$x>8$のとき$t>[ ]$である．$\displaystyle \log_2 \left( \log_4 \frac{x}{8} \right)=\log_4 \left( \log_8 \frac{x}{2} \right)$のとき，
\[ \log_2 \frac{t-[ ]}{[ ]}=\log_4 \frac{t-[ ]}{[ ]} \]
であり，$\displaystyle t=\frac{[ ]+[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(2)$1$辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{b}-[ ] \overrightarrow{c}$である．さらに$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}+[ ] \overrightarrow{c},\quad \mathrm{BE}=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]} \]
である．
(1)$t=\log_2 x$とおく．$x>8$のとき$t>[ ]$である．$\displaystyle \log_2 \left( \log_4 \frac{x}{8} \right)=\log_4 \left( \log_8 \frac{x}{2} \right)$のとき，
\[ \log_2 \frac{t-[ ]}{[ ]}=\log_4 \frac{t-[ ]}{[ ]} \]
であり，$\displaystyle t=\frac{[ ]+[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(2)$1$辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{b}-[ ] \overrightarrow{c}$である．さらに$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}+[ ] \overrightarrow{c},\quad \mathrm{BE}=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]} \]
である．
私立 産業医科大学 2011年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$に対し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\pi$とおく．ただし，$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．次の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように，実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と，そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を，それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を，それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように，実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と，そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を，それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を，それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい．
公立 首都大学東京 2011年 第1問$k$を実数とし，曲線$C_1:y=1-x^2$と曲線$C_2:y=x^2-2kx+k^2$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)$k$のとり得る値の範囲を求めなさい．
(2)$k$の値が変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を図示しなさい．
(3)$(2)$の軌跡と$C_1$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$k$のとり得る値の範囲を求めなさい．
(2)$k$の値が変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を図示しなさい．
(3)$(2)$の軌跡と$C_1$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
公立 広島市立大学 2011年 第3問平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
国立 京都大学 2010年 第2問四面体$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{B}$および辺$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{M}$の$3$点を通る平面は辺$\mathrm{CD}$と直交することを示せ．
国立 一橋大学 2010年 第2問$a$を実数とする．傾きが$m$である2つの直線が，曲線$y=x^3-3ax^2$とそれぞれ点A，点Bで接している．
(1)線分ABの中点をCとすると，Cは曲線$y=x^3-3ax^2$上にあることを示せ．
(2)直線ABの方程式が$y=-x-1$であるとき，$a,\ m$の値を求めよ．
(1)線分ABの中点をCとすると，Cは曲線$y=x^3-3ax^2$上にあることを示せ．
(2)直線ABの方程式が$y=-x-1$であるとき，$a,\ m$の値を求めよ．
国立 京都大学 2010年 第1問四面体ABCDにおいて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ．
国立 弘前大学 2010年 第5問各辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，辺OBを$3 : 1$に内分する点をP，辺OCの中点をQ，辺BCの中点をRとする．また，直線PQと直線ORとの交点をXとするとき，次の問いに答えよ．
(1)線分OXの長さを求めよ．
(2)線分AXの長さを求めよ．
(1)線分OXの長さを求めよ．
(2)線分AXの長さを求めよ．