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国立 大分大学 2011年 第2問直線$\ell_1:y=mx+3 \ (m>0)$が，点A$(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点をPとする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点をRとする．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2011年 第3問3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
国立 東京医科歯科大学 2011年 第2問座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第3問3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
国立 大分大学 2011年 第4問直線$\ell_1:y=mx+3 \ (m>0)$が，点A$(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点をPとする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点をRとする．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
国立 佐賀大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から対辺またはその延長線上に垂線$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$を下ろす．$\triangle \mathrm{DEF}$が正三角形となるとき，$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
国立 東京学芸大学 2011年 第4問長さ2の線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Pをとる．このとき，下の問いに答えよ．
(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．
(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．
国立 宇都宮大学 2011年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=|\overrightarrow{a}|$とするとき，$\triangle \mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=|\overrightarrow{a}|$とするとき，$\triangle \mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2011年 第2問$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．
(1)点$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0)$から$C_1$ に引いた接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を結ぶ線分の中点の軌跡を$C_2$とするとき，$C_2$の方程式を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0)$から$C_1$ に引いた接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を結ぶ線分の中点の軌跡を$C_2$とするとき，$C_2$の方程式を求めよ．
国立 山梨大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2,\ \mathrm{OB}=3,\ \mathrm{AB}=k$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．