「中点」について
タグ「中点」の検索結果
（29ページ目：全364問中281問～290問を表示）
公立 名古屋市立大学 2012年 第2問座標空間における点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$について，直線$\mathrm{FG}$上の点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{FG}$の中点であるとき，$\angle \mathrm{OPA}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$と原点$\mathrm{O}$との距離$d$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$m$と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$\theta=15^\circ$，$\theta=30^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{FG}$の中点であるとき，$\angle \mathrm{OPA}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$と原点$\mathrm{O}$との距離$d$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$m$と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$\theta=15^\circ$，$\theta=30^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．
公立 名古屋市立大学 2012年 第4問$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．
国立 東北大学 2011年 第4問平面上に長さ3の線分OAを考え，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$で表す．$0 < t < 1$を満たす実数$t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{a}$となるように点Pを定める．大きさ 2のベクトル$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と角$\theta \ (0 < \theta < \pi)$をなすようにとり，点Bを$\overrightarrow{\mathrm{OB}} =\overrightarrow{b}$で定める．線分OBの中点をQとし，線分AQと線分BPの交点をRとする．\\
\quad このとき，どのように$\theta$をとっても$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直にならないような$t$の値の範囲を求めよ．
\quad このとき，どのように$\theta$をとっても$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直にならないような$t$の値の範囲を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第2問座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える．線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP，線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ，線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする．また，線分ABの中点をHとし，点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする．$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．
(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．
国立 九州大学 2011年 第3問平面上に直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，その斜辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$とする．また，点$\mathrm{O}$は$4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=10$となることを示せ．
(3)$4|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の値を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=10$となることを示せ．
(3)$4|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
国立 金沢大学 2011年 第1問座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$をとる．また，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$ \\
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
\img{355_1273_2011_1}{28}
(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
\img{355_1273_2011_1}{28}
(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．
国立 香川大学 2011年 第1問放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．
(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．
国立 熊本大学 2011年 第2問平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$，辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）
国立 熊本大学 2011年 第4問平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$，辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
（図は省略）