「中点」について
タグ「中点」の検索結果
（28ページ目：全364問中271問～280問を表示）
私立 東北工業大学 2012年 第3問半径$5 \sqrt{2}$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さは
\[ \mathrm{AB}=[][] \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=[][],\quad \mathrm{CA}=[][](1+\sqrt{3}) \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{2}(1+\sqrt{3})$である．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，辺$\mathrm{AM}$の長さの$2$乗は$[][](2+\sqrt{3})$である．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さは
\[ \mathrm{AB}=[][] \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=[][],\quad \mathrm{CA}=[][](1+\sqrt{3}) \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{2}(1+\sqrt{3})$である．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，辺$\mathrm{AM}$の長さの$2$乗は$[][](2+\sqrt{3})$である．
私立 津田塾大学 2012年 第2問指数関数$y=2^x$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第4問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BO}=3$である．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CD}$および$\mathrm{BA}$をそれぞれ延長したときの交点を$\mathrm{E}$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
私立 久留米大学 2012年 第5問点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 3)$と点$\mathrm{B}(2,\ 4,\ 1)$の中点を$\mathrm{M}$，原点を$\mathrm{O}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ともに直交する単位ベクトル$\overrightarrow{t}$を成分表示で表すと$[$12$]$となる．また，$\mathrm{AB}$を底辺とする正三角形$\mathrm{ABC}$が$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MC}}$の条件を満たすとき，頂点$\mathrm{C}$の座標は$[$13$]$となる．
私立 東京理科大学 2012年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$の外部の点$\mathrm{A}$からこの円に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(s,\ t)$とする．
(1)点$\mathrm{A}$の座標が$(a,\ b)$であるとき，$a,\ b$を用いて，点$\mathrm{M}$の座標$(s,\ t)$を表しなさい．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$2x+3y=12$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．
(1)点$\mathrm{A}$の座標が$(a,\ b)$であるとき，$a,\ b$を用いて，点$\mathrm{M}$の座標$(s,\ t)$を表しなさい．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$2x+3y=12$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．
私立 産業医科大学 2012年 第2問座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．中心が$\mathrm{O}$，半径が$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
私立 近畿大学 2012年 第3問下図の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の$1$辺の長さは$1$である．線分$\mathrm{AH}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{HC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とおく．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{b}+\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{c}$である．
(2)線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{[キク]}{[ケコ]} \overrightarrow{b}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{c} \]
である．
(3)次に，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる．線分$\mathrm{DT}$の長さは
\[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b}-\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{c} \]
のとき，最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]}$をとる．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{b}+\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{c}$である．
(2)線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{[キク]}{[ケコ]} \overrightarrow{b}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{c} \]
である．
(3)次に，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる．線分$\mathrm{DT}$の長さは
\[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b}-\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{c} \]
のとき，最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]}$をとる．
私立 成城大学 2012年 第3問白い正三角形$\mathrm{ABC}$がある．$1$回目の操作としてこの正三角形の各辺の中点を互いに結んでできる$4$つの正三角形のうち，中央の正三角形を赤く塗る．次に，$2$回目の操作として残りすべての白い三角形それぞれについて，各辺の中点を互いに結んでできる$4$つの正三角形のうち，中央の正三角形を赤く塗る．以下同様に$n$回目までこの操作を繰り返す．
正三角形$\mathrm{ABC}$からこの操作を$n$回繰り返したとき，以下の問いに答えよ．
(1)赤い正三角形の数を求めよ．
(2)白い正三角形の数を求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$の一辺の長さを$1$としたとき，赤い正三角形の面積の和を求めよ．
正三角形$\mathrm{ABC}$からこの操作を$n$回繰り返したとき，以下の問いに答えよ．
(1)赤い正三角形の数を求めよ．
(2)白い正三角形の数を求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$の一辺の長さを$1$としたとき，赤い正三角形の面積の和を求めよ．
公立 首都大学東京 2012年 第4問内角がすべて$180^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく．$\mathrm{G}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{GA}} +\overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} + \overrightarrow{\mathrm{GD}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \quad (s,\ t \text{は正の実数})$と表すとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$と実数$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき，$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい．
(3)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい．
(4)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{GA}} +\overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} + \overrightarrow{\mathrm{GD}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \quad (s,\ t \text{は正の実数})$と表すとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$と実数$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき，$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい．
(3)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい．
(4)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい．
公立 高知工科大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．
(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．