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（25ページ目：全364問中241問～250問を表示）
国立 島根大学 2012年 第2問$a$を実数とする．次の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2-x+3a$と直線$y=3ax+2$は異なる$2$つの交点をもつことを示せ．
(2)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点をむすぶ線分の中点を$\mathrm{M}$とする．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{M}$の$y$座標の最小値を求めよ．
(3)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha$と$\beta$とする．$a$が実数全体を動くとき，$|\alpha|+|\beta|$の最小値を求めよ．
(1)放物線$y=x^2-x+3a$と直線$y=3ax+2$は異なる$2$つの交点をもつことを示せ．
(2)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点をむすぶ線分の中点を$\mathrm{M}$とする．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{M}$の$y$座標の最小値を求めよ．
(3)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha$と$\beta$とする．$a$が実数全体を動くとき，$|\alpha|+|\beta|$の最小値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2012年 第1問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(2 \sin \theta-3 \cos \theta)^2-(2 \sin \theta-3 \cos \theta)+1$の最大値$M$と最小値$m$を求めると，$(M,\ m)=[ ]$．
(2)$x^2-4x-3=0,\ x>0$のとき，$2x^4+0x^3+1x^2+2x+2012=p+q\sqrt{7}$を満たす整数$p,\ q$は$(p,\ q)=[ ]$．
(3)平面上に$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0)$がある．点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$ \\
の中点で点$\mathrm{X}$は線分$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点である．ただし， \\
$\displaystyle -4<a<0,\ b>0,\ 0<t<\frac{1}{2}$とする．直線$\mathrm{MX}$と直線$\mathrm{BC}$の \\
交点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BX}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{BCX}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{XPQ}$の面積を$S_2$とおくと，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=[ ]$．
\img{2_2_2012_1}{40}
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(2 \sin \theta-3 \cos \theta)^2-(2 \sin \theta-3 \cos \theta)+1$の最大値$M$と最小値$m$を求めると，$(M,\ m)=[ ]$．
(2)$x^2-4x-3=0,\ x>0$のとき，$2x^4+0x^3+1x^2+2x+2012=p+q\sqrt{7}$を満たす整数$p,\ q$は$(p,\ q)=[ ]$．
(3)平面上に$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0)$がある．点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$ \\
の中点で点$\mathrm{X}$は線分$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点である．ただし， \\
$\displaystyle -4<a<0,\ b>0,\ 0<t<\frac{1}{2}$とする．直線$\mathrm{MX}$と直線$\mathrm{BC}$の \\
交点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BX}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{BCX}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{XPQ}$の面積を$S_2$とおくと，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=[ ]$．
\img{2_2_2012_1}{40}
国立 長崎大学 2012年 第3問3点$\mathrm{P}(4,\ -5)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(7,\ 4)$を通る円を$C$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．
(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．
国立 山口大学 2012年 第3問2点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，$\mathrm{AB}=2$を満たしながら放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$の上を動く点とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ p$とするとき，$a+b$と$ab$の値をそれぞれ$p$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標を$p$を用いて表しなさい．
(3)$\mathrm{P}$の$x$座標に対して$\mathrm{P}$の$y$座標を定める関数を$y=f(x)$とする．2つの曲線$y=f(x)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$と2直線$x=0,\ x=2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ p$とするとき，$a+b$と$ab$の値をそれぞれ$p$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標を$p$を用いて表しなさい．
(3)$\mathrm{P}$の$x$座標に対して$\mathrm{P}$の$y$座標を定める関数を$y=f(x)$とする．2つの曲線$y=f(x)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$と2直線$x=0,\ x=2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 福井大学 2012年 第4問$xy$平面上に，曲線$C_1:x=t-\sin t,\ y=1-\cos t \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$がある．$0<t<2\pi$をみたす$t$に対し，$C_1$上の点$\mathrm{P}_1(t-\sin t,\ 1-\cos t)$における$C_1$の法線を$m$とおき，$x$軸と$m$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点になるように点$\mathrm{P}_2$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)直線$m$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{M},\ \mathrm{P}_2$の座標を$t$を用いて表せ．さらに，$\mathrm{P}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと，関数$f(t)$は，$0<t<2\pi$で増加することを示せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$\mathrm{P}_2$の軌跡を$C_2$とするとき，$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$t=0,\ 2\pi$に対しては，点$\mathrm{P}_2$をそれぞれ点$(0,\ 0)$，点$(2\pi,\ 0)$にとるものとする．
（図は省略）
(1)直線$m$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{M},\ \mathrm{P}_2$の座標を$t$を用いて表せ．さらに，$\mathrm{P}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと，関数$f(t)$は，$0<t<2\pi$で増加することを示せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$\mathrm{P}_2$の軌跡を$C_2$とするとき，$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$t=0,\ 2\pi$に対しては，点$\mathrm{P}_2$をそれぞれ点$(0,\ 0)$，点$(2\pi,\ 0)$にとるものとする．
国立 宮城教育大学 2012年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$それぞれの中点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$p$を$0<p<1$を満たす数として，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FD}$，$\mathrm{DE}$をそれぞれ$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$p$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が一直線上にあるときの$p$の値を求めよ．
(3)$p$が(2)で求めた値であるとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GH}}|^2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$p$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が一直線上にあるときの$p$の値を求めよ．
(3)$p$が(2)で求めた値であるとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GH}}|^2$を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$33^{20}$を$90$で割ったときの余りを求めよ．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{e}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{FP}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{e}$を用いて表せ．
(3)袋の中に$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が入っている．この袋から同時に$3$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉の$3$つの数を$3$辺の長さとする三角形が存在する確率を求めよ．
(1)$33^{20}$を$90$で割ったときの余りを求めよ．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{e}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{FP}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{e}$を用いて表せ．
(3)袋の中に$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が入っている．この袋から同時に$3$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉の$3$つの数を$3$辺の長さとする三角形が存在する確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=4,\ \mathrm{OB}=5,\ \mathrm{AB}=7$とする．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$の中点，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点とする．さらに点$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{OB}$上にあり$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$である．このとき，
\[ \mathrm{OR} = \frac{[オ]}{[カ]}\mathrm{OB} \]
である．ただし，[カ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
\[ \mathrm{OR} = \frac{[オ]}{[カ]}\mathrm{OB} \]
である．ただし，[カ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2012年 第3問曲線$x^2+y^2=100$（$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$）を$C$とする．点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$は$C$上にあり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致するときは，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{P}$に等しいものとする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，
\[ (x-[キ])^2+(y-[ク])^2=[ケ],\ [コ] \leqq x \leqq [サ],\ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi + [タ] \]
である．ただし，$[ソ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
(1)点$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，
\[ (x-[キ])^2+(y-[ク])^2=[ケ],\ [コ] \leqq x \leqq [サ],\ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi + [タ] \]
である．ただし，$[ソ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2012年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．
(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．