$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$である長方形の紙$\mathrm{ABCD}$が平らな机上に置かれている．$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点とすると，$\angle \mathrm{MCB}={[あい]}^\circ$である．いま，ある直線$\ell$に沿ってこの紙を折り曲げて，頂点$\mathrm{C}$が$\mathrm{M}$に重なるようにする．$\ell$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{CE}$の長さは$\displaystyle \frac{[う] \sqrt{[え]}}{[お]}$である．次に，折り畳まれた紙を開き，折り曲げられた部分が机上に垂直になったところで止める（頂点$\mathrm{C}$は空中にある）．このとき，$\mathrm{AC}=[か]$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[き]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[く]$となる．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{OC}$上の点とするとき，

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．

$\triangle \mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$2$つの正の数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$となるように点$\mathrm{C}$を定める．また，線分$\mathrm{AC}$および線分$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{OM}$および直線$\mathrm{ON}$が線分$\mathrm{AB}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さ，および$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とする．$S_2$を$s,\ t$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle S_2=\frac{1}{4}S_1$となるための$s,\ t$の条件を求め，$s,\ t$がその条件をみたしながら動くとき，点$\mathrm{C}$の存在する範囲を求めよ．

$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$とおく．

このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}

動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．

(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．

(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．

空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．

空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．

$xy$平面に正三角形$\mathrm{ABC}$があり，$3$頂点の座標はそれぞれ$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$となっている．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$上を動く点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$上を動く点とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{T}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)線分$\mathrm{TE}$を$s:1-s$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=m \overrightarrow{\mathrm{BA}}+n \overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すと$m=[ウ]$，$n=[エ]$となる．ただし$m,\ n$は$s$の$1$次式である．また$s=[オ]$のとき$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$上にある．
(3)$\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$[カ]$である．またそのとき$\mathrm{BP}=[キ]$となる．
(4)$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値は$[ク]$である．またそのとき$\tan \angle \mathrm{BPQ}=[ケ]$となる．

面積$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．正の実数$t$に対し，線分$\mathrm{AM}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，さらに直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{AQ}}$を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{MQR}$の面積が最大となる$t$の値と，そのときの面積を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PA}$の長さが$\sqrt{2}$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x>0$，$y=1$であるとき，$\angle \mathrm{AMP}$を求めよ．