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私立 日本女子大学 2013年 第1問$1$辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)線分$\mathrm{AP}$，線分$\mathrm{AQ}$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PAQ}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$，線分$\mathrm{AQ}$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PAQ}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積を求めよ．
私立 昭和大学 2013年 第8問$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=90^\circ$の直角二等辺三角形であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{DE}=3$，$\mathrm{EF}=4$，$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$である．$\mathrm{E}$から$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\angle \mathrm{EDC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の各問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AFE}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{EH}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(3)$\mathrm{CE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(4)$\mathrm{AE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(5)$\sin \theta$を$x$の簡単な式で表せ．
(6)$x$を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{AFE}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{EH}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(3)$\mathrm{CE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(4)$\mathrm{AE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(5)$\sin \theta$を$x$の簡単な式で表せ．
(6)$x$を求めよ．
私立 北海道薬科大学 2013年 第3問$2$点$\mathrm{A}(2,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を結ぶ直線$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を通る直線$\mathrm{OP}$がある．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，直線$\mathrm{OP}$の傾きは$[ウ]$である．
(2)$x$の$2$次関数のグラフで定める$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，点$\mathrm{P}$で共通接線$\mathrm{OP}$をもち，さらに$C_1$は点$\mathrm{A}$，$C_2$は点$\mathrm{B}$を通るとすると
$C_1$は$y=x^2+[エオ]x+[カキ]$
$C_2$は$y=[ク]x^2+[ケ]x+[コサシ]$
となる．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，直線$\mathrm{OP}$の傾きは$[ウ]$である．
(2)$x$の$2$次関数のグラフで定める$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，点$\mathrm{P}$で共通接線$\mathrm{OP}$をもち，さらに$C_1$は点$\mathrm{A}$，$C_2$は点$\mathrm{B}$を通るとすると
$C_1$は$y=x^2+[エオ]x+[カキ]$
$C_2$は$y=[ク]x^2+[ケ]x+[コサシ]$
となる．
私立 神奈川大学 2013年 第3問曲線$C:y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の$\mathrm{P}$とは異なる$C$との交点を$\mathrm{Q}$とし，$C$と$\ell$とで囲まれた部分を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．
(1)接線$\ell$の方程式と，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の中点を通る直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の直線$m$により$S$は$2$つの部分に分けられる．$x$軸で$x>0$の一部を含む部分の面積を$s_1$とし，もう一方の面積を$s_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{s_1}{s_2}$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式と，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の中点を通る直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の直線$m$により$S$は$2$つの部分に分けられる．$x$軸で$x>0$の一部を含む部分の面積を$s_1$とし，もう一方の面積を$s_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{s_1}{s_2}$を求めよ．
私立 埼玉工業大学 2013年 第4問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\angle \mathrm{ADM}=\theta$としたとき，$\cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{MD}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$であり，この正四面体の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[][]}$である．また，この正四面体に内接する球の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[][]}$である．
私立 愛知工業大学 2013年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=[ ]$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある．このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き，次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$[ ]$である．また，$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$[ ]$である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ ]$である．
(4)複素数$z=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする．このとき，$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=[ ]$である．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ ]$であり，$\theta=[ ]$である．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=[ ]$
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=[ ]$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある．このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き，次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$[ ]$である．また，$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$[ ]$である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ ]$である．
(4)複素数$z=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする．このとき，$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=[ ]$である．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ ]$であり，$\theta=[ ]$である．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=[ ]$
私立 北里大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
私立 千葉工業大学 2013年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(2,\ 8)$を通る直線$\ell:y=t(x-2)+8$（ただし，$t$は定数）と$C$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$\alpha+\beta=[ア] t$である．$X,\ Y$を$t$を用いて表すと，$X=[イ] t$，$Y=[ウ] t^2-[エ] t+[オ]$である．
(2)$\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$[カ]$，$[キ]$である．
(3)$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は，放物線
\[ D:y=\frac{[ク]}{[ケ]}x^2-x+[コ] \]
の$[サ] \leqq x \leqq [シ]$の部分である．
(4)$[カ] \leqq t \leqq [キ]$において，直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき，$X=[ス]$である．また，$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(1)$C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$\alpha+\beta=[ア] t$である．$X,\ Y$を$t$を用いて表すと，$X=[イ] t$，$Y=[ウ] t^2-[エ] t+[オ]$である．
(2)$\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$[カ]$，$[キ]$である．
(3)$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は，放物線
\[ D:y=\frac{[ク]}{[ケ]}x^2-x+[コ] \]
の$[サ] \leqq x \leqq [シ]$の部分である．
(4)$[カ] \leqq t \leqq [キ]$において，直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき，$X=[ス]$である．また，$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
私立 東京電機大学 2013年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
私立 東京電機大学 2013年 第5問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．