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国立 山形大学 2013年 第1問面積が$1$である$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{E}$があり，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{F}$がある．正の実数$x,\ y,\ z,\ w$を$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=x:y$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=y:z$，$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=z:w$となるように定める．線分$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{G}$で交わるとき，次の問に答えよ．
(1)三角形の面積の比を用いて，$\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{w}=1$となることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{AFE}$の面積を$x,\ y,\ z$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{x}{y},\ \beta=\frac{y}{z}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積が最大となるのは，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が各辺の中点となるときであることを示せ．
(1)三角形の面積の比を用いて，$\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{w}=1$となることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{AFE}$の面積を$x,\ y,\ z$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{x}{y},\ \beta=\frac{y}{z}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積が最大となるのは，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が各辺の中点となるときであることを示せ．
国立 宮崎大学 2013年 第3問平面上に，$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．また，直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=2 \overrightarrow{b}$であるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DR} \perp \mathrm{PQ}$であるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第2問$xy$平面上に中心$(1,\ 0)$，半径$2$の円$C$がある．円$C$と$y$軸との交点のうち，$y$座標が負である点を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 長崎大学 2013年 第4問右図のような四面体$\mathrm{OABC}$がある．各面$\mathrm{ABC}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$，$\mathrm{OAB}$の \\
重心を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とおく．次の問いに答えよ．
\img{713_2938_2013_1}{25}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{U}$は，実数$s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=s \overrightarrow{\mathrm{OP}} (0 \leqq s \leqq 1)$と表され，線分$\mathrm{AQ}$上の点$\mathrm{V}$は，実数$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OV}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OQ}} (0 \leqq t \leqq 1)$と表される．このことを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(4)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$の中から必要なものを用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$をそれぞれ表せ．また，点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BR}$および線分$\mathrm{CS}$上にあることを示せ．
重心を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とおく．次の問いに答えよ．
\img{713_2938_2013_1}{25}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{U}$は，実数$s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=s \overrightarrow{\mathrm{OP}} (0 \leqq s \leqq 1)$と表され，線分$\mathrm{AQ}$上の点$\mathrm{V}$は，実数$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OV}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OQ}} (0 \leqq t \leqq 1)$と表される．このことを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(4)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$の中から必要なものを用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$をそれぞれ表せ．また，点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BR}$および線分$\mathrm{CS}$上にあることを示せ．
国立 東京海洋大学 2013年 第2問平面上に異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$，$\mathrm{C}_0$をとる．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$をそれぞれ線分$\mathrm{B}_{n-1} \mathrm{C}_{n-1}$，$\mathrm{C}_{n-1} \mathrm{A}_{n-1}$，$\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}$の中点とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{C}_1}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$と$n$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{C}_1}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$と$n$を用いて表せ．
国立 京都教育大学 2013年 第3問円$x^2+y^2=1$を$C$とし，点$(0,\ 2)$を通り傾き$a$の直線を$L$とする．次の問に答えよ．
(1)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つような$a$の条件を求めよ．
(2)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つとき，それら$2$交点の中点の軌跡を含む円の方程式を求めよ．
(1)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つような$a$の条件を求めよ．
(2)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つとき，それら$2$交点の中点の軌跡を含む円の方程式を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第1問平面上に，$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．また，直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=2 \overrightarrow{b}$であるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DR} \perp \mathrm{PQ}$であるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第2問平面上に，$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．また，直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=2 \overrightarrow{b}$であるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DR} \perp \mathrm{PQ}$であるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$x^2(x^2+1)-(x-2)(x+1)(x^2-x+2)$を計算して簡単にせよ．
(2)$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{4}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{MC}$の長さと，三角形$\mathrm{AMC}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=5+\sqrt{3}$，$b=5-\sqrt{3}$，$c=3+\sqrt{5}$，$d=3-\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}$の値を求めよ．
(1)$x^2(x^2+1)-(x-2)(x+1)(x^2-x+2)$を計算して簡単にせよ．
(2)$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{4}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{MC}$の長さと，三角形$\mathrm{AMC}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=5+\sqrt{3}$，$b=5-\sqrt{3}$，$c=3+\sqrt{5}$，$d=3-\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}$の値を求めよ．
私立 名城大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$があり，その辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．