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私立 吉備国際大学 2014年 第2問正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=1$とする．
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき$\mathrm{EF}=\mathrm{FG}=\mathrm{GH}=\mathrm{HE}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCD}$，$\triangle \mathrm{ODA}$の重心を$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$とする．四角形$\mathrm{IJKL}$の面積を求めよ．
(3)一辺の長さ$1$の正八面体の各面の重心を頂点とする多面体の体積を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき$\mathrm{EF}=\mathrm{FG}=\mathrm{GH}=\mathrm{HE}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCD}$，$\triangle \mathrm{ODA}$の重心を$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$とする．四角形$\mathrm{IJKL}$の面積を求めよ．
(3)一辺の長さ$1$の正八面体の各面の重心を頂点とする多面体の体積を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2014年 第3問次の問いに答えなさい．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
私立 東北学院大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{6}$，$\mathrm{BC}=3$，$\angle \mathrm{BCA}=\theta$とする．$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
私立 広島工業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}(1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ -3)$，$\mathrm{D}(-4,\ 0)$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のうち，$\mathrm{E}$との距離より$\mathrm{F}$との距離の方が小さい点の集合$X$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ -5,\ -3)$に対して，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\cos {40}^\circ=0.766$を用いて，$\cos {100}^\circ$の値を求めよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入せよ．
(1)点$\mathrm{A}(1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ -3)$，$\mathrm{D}(-4,\ 0)$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のうち，$\mathrm{E}$との距離より$\mathrm{F}$との距離の方が小さい点の集合$X$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ -5,\ -3)$に対して，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\cos {40}^\circ=0.766$を用いて，$\cos {100}^\circ$の値を求めよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入せよ．
私立 青山学院大学 2014年 第2問平面上に，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$であるような三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$が正三角形になるように，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{O}$の反対側に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
私立 津田塾大学 2014年 第3問下図は，半径$1$の円を底面とする高さ$1$の円柱を，底面に垂直な平面で切り取ったものである．ここで，線分$\mathrm{OA}$は底面に垂直である．また，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$は点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面上にあり，線分$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BE}$は垂直である．さらに，$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{BE}$の中点であり，$\displaystyle \mathrm{AF}=\frac{3}{2}$である．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{X}$をとり，$\mathrm{OX}=t$とする．$\mathrm{X}$を通り，線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面と線分$\mathrm{EC}$との交点を$\mathrm{G}$とする．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BF}$を求めよ．
(2)$\mathrm{XG}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで動くとき，線分$\mathrm{XG}$を線分$\mathrm{OA}$の周りに回転してできる図形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BF}$を求めよ．
(2)$\mathrm{XG}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで動くとき，線分$\mathrm{XG}$を線分$\mathrm{OA}$の周りに回転してできる図形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
私立 同志社大学 2014年 第3問平面上で鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の外側に，$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABFG}$，$\mathrm{ACDE}$をつくる．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|$とする．線分$\mathrm{EG}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，直線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおき，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=t$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(5)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(6)$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(5)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(6)$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$を考える．
(1)$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=[$32$] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-\frac{[$35$]}{[$36$]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$37$]}{[$38$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{[$39$]}{[$40$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$
と表せる．
(2)$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$が最小になるような実数$k$の値は$\displaystyle -\frac{[$41$]}{[$42$]}$であり，そのときの$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$43$][$44$]}}{[$45$]}$となる．
(3)直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{DPS}$の面積の$\displaystyle \frac{[$46$][$47$]}{[$48$]}$倍である．
(1)$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=[$32$] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-\frac{[$35$]}{[$36$]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$37$]}{[$38$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{[$39$]}{[$40$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$
と表せる．
(2)$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$が最小になるような実数$k$の値は$\displaystyle -\frac{[$41$]}{[$42$]}$であり，そのときの$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$43$][$44$]}}{[$45$]}$となる．
(3)直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{DPS}$の面積の$\displaystyle \frac{[$46$][$47$]}{[$48$]}$倍である．
私立 杏林大学 2014年 第3問$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点