以下の各問に答えよ．

(1)製品が$50$個あり，そのうち$5$個が不良品である．この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{EF}=9$のとき，線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(3)下の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点である．円$\mathrm{O}$の半径を$5$，円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
（図は省略）

$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

原点を$\mathrm{O}$として$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 2)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$\mathrm{S}$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$\mathrm{S}$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．
(4)球面$\mathrm{S}$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=x^2$がある．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{PQ}=2$をみたしながら動くとき，$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$D$の方程式を求めよ．
(2)$C$，$D$，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され，点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると，
\[ A \left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right) \]
が成り立つ．$c$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して
\[ A^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(4)$(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め，$A^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\angle \mathrm{BOC}=2 \theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{MBC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{PC}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{OQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$m>0$，$n>0$とする．さらに直線$\mathrm{AR}$が平面$\mathrm{OBC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおいて以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$m$，$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RS}}$を$m,\ n$を用いて表せ．

下図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$が$xyz$空間内にあり，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ \sqrt{6})$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{DG}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{MN}=4$かつ$\mathrm{DN}<\mathrm{GN}$を満たすように定める．

(1)$\mathrm{N}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面と$y$軸との交点$\mathrm{P}$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面による平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$の切り口の面積を求めよ．
（図は省略）

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PM}+\mathrm{MQ}$が最小となる$\mathrm{OB}$上の点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{PN}+\mathrm{NQ}$が最小となる$\mathrm{OC}$上の点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{QMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{QMN}$の面積の最大値を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．