$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし，点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする．$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は$\displaystyle \frac{\pi+[ナ]}{[ニ]}$である．

複素数$z$に対して
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする．ただし，$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする．
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．次の問に答えよ．

(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ．
(2)$|\alpha|<1$のとき，すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ．
(3)$|\alpha|=1$とする．複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき，これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある．円$C_z$の中心と半径を求めよ．

$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．

(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．

$3$点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の$1$辺を選び，その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる．このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする．$S_1$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする．$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり，その中には$\mathrm{D}$も含まれる．一般に，自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき，$S_n$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする．次の問に答えよ．

(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．

点$\mathrm{A}(8,\ 6)$を中心とし半径が$r$の円と円$C:x^2+y^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．

(1)$r$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AP}$が円$C$の接線であるとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

\begin{mawarikomi}{68mm}{
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．

ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．

\end{mawarikomi}

(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．

$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．

点$z$は複素数とする．点$z$は，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動く．$\displaystyle w=\frac{6z-1}{2z-1}$としたとき，$|w|$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$3(M-m)$の値を求めよ．

原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(6,\ 8)$，点$\mathrm{B}(21,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$について考える．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の中心の座標を$(p,\ q)$とする．$|\displaystyle\frac{2p|{q}}$の値を求めよ．

同一平面上において，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$10$の円周上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．線分$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CO}$は交点を持ち，この交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{CP}=14$であり，$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:3$である．以下の問に答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[チ] \overrightarrow{a}+[ツ] \overrightarrow{b}}{[テ]}$である．
また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{[ト] \overrightarrow{a}-[ナ] \overrightarrow{b}}{[ニ]}$と表すことができる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$についての計算から，内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[ヌ][ネ][ノ]}{[ハ]}$となる．

さらに，$\mathrm{CA}=[ヒ] \sqrt{[フ][ヘ]}$，$\mathrm{CB}=[ホ] \sqrt{[マ]}$である．

(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ミ][ム][メ] \sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．