「中心」について
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(6ページ目:全588問中51問~60問を表示)![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし,点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする.$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は$\displaystyle \frac{\pi+[ナ]}{[ニ]}$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
複素数$z$に対して
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする.ただし,$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする.
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.次の問に答えよ.
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ.
(2)$|\alpha|<1$のとき,すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ.
(3)$|\alpha|=1$とする.複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき,これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある.円$C_z$の中心と半径を求めよ.
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする.ただし,$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする.
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.次の問に答えよ.
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ.
(2)$|\alpha|<1$のとき,すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ.
(3)$|\alpha|=1$とする.複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき,これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある.円$C_z$の中心と半径を求めよ.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある.ここで$w=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)と表すとき,以下の問に答えよ.
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある.ここで$w=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)と表すとき,以下の問に答えよ.
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$3$点$(0,\ 0)$,$(1,\ 0)$,$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{D}$の$1$辺を選び,その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる.このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする.$S_1$から一つ三角形を選び,さらにその三角形の$1$辺を選び,その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる.このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする.$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり,その中には$\mathrm{D}$も含まれる.一般に,自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき,$S_n$から一つ三角形を選び,さらにその三角形の$1$辺を選び,その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる.このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする.次の問に答えよ.
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ.
(2)$m$を自然数とする.$S_{2m}$から一つ三角形を選び,その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える.三角形の選び方をすべて考えたときの,この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ.
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ.
(2)$m$を自然数とする.$S_{2m}$から一つ三角形を選び,その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える.三角形の選び方をすべて考えたときの,この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ.
![東北学院大学](./img/univ/tohokugakuin.png)
点$\mathrm{A}(8,\ 6)$を中心とし半径が$r$の円と円$C:x^2+y^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わっているとき,次の問いに答えよ.ただし,点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする.
(1)$r$の値の範囲を求めよ.
(2)直線$\mathrm{AP}$が円$C$の接線であるとき,$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(1)$r$の値の範囲を求めよ.
(2)直線$\mathrm{AP}$が円$C$の接線であるとき,$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
\begin{mawarikomi}{68mm}{
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$,半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が,放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で,直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している(直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする).ここで$2$つの曲線が接するとは,交点における接線が一致することを意味する.このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり,$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす.また,放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である.このとき,放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である.
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり,$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす.また,放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である.このとき,放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
点$z$は複素数とする.点$z$は,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動く.$\displaystyle w=\frac{6z-1}{2z-1}$としたとき,$|w|$の最大値を$M$,最小値を$m$とする.$3(M-m)$の値を求めよ.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,点$\mathrm{A}(6,\ 8)$,点$\mathrm{B}(21,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$について考える.$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の中心の座標を$(p,\ q)$とする.$|\displaystyle\frac{2p|{q}}$の値を求めよ.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
同一平面上において,点$\mathrm{O}$を中心とする半径$10$の円周上に$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.線分$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CO}$は交点を持ち,この交点を$\mathrm{P}$とする.$\mathrm{CP}=14$であり,$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:3$である.以下の問に答えなさい.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とすると,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[チ] \overrightarrow{a}+[ツ] \overrightarrow{b}}{[テ]}$である.
また,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{[ト] \overrightarrow{a}-[ナ] \overrightarrow{b}}{[ニ]}$と表すことができる.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$についての計算から,内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[ヌ][ネ][ノ]}{[ハ]}$となる.
さらに,$\mathrm{CA}=[ヒ] \sqrt{[フ][ヘ]}$,$\mathrm{CB}=[ホ] \sqrt{[マ]}$である.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ミ][ム][メ] \sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とすると,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[チ] \overrightarrow{a}+[ツ] \overrightarrow{b}}{[テ]}$である.
また,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{[ト] \overrightarrow{a}-[ナ] \overrightarrow{b}}{[ニ]}$と表すことができる.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$についての計算から,内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[ヌ][ネ][ノ]}{[ハ]}$となる.
さらに,$\mathrm{CA}=[ヒ] \sqrt{[フ][ヘ]}$,$\mathrm{CB}=[ホ] \sqrt{[マ]}$である.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ミ][ム][メ] \sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である.