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公立 京都府立大学 2010年 第2問定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
公立 京都府立大学 2010年 第2問定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第3問$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円とその \\
単位円周上の点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．$y$軸上の点 \\
$\mathrm{P}(0,\ t)$に対して$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線がこの単位円と \\
$\mathrm{A}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{OQ}$が$x$軸の正の方向 \\
となす角を$\theta$とする．以下の問に答えなさい． \\
ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．
\img{562_2720_2010_2}{42}
(1)$t$を$\theta$で表しなさい．
(2)$\cos \theta$と$\sin \theta$をそれぞれ$t$で表しなさい．
(3)$\cos \theta$と$\sin \theta$の少なくとも一方が無理数であれば，$t$も無理数であることを示しなさい．
単位円周上の点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．$y$軸上の点 \\
$\mathrm{P}(0,\ t)$に対して$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線がこの単位円と \\
$\mathrm{A}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{OQ}$が$x$軸の正の方向 \\
となす角を$\theta$とする．以下の問に答えなさい． \\
ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．
\img{562_2720_2010_2}{42}
(1)$t$を$\theta$で表しなさい．
(2)$\cos \theta$と$\sin \theta$をそれぞれ$t$で表しなさい．
(3)$\cos \theta$と$\sin \theta$の少なくとも一方が無理数であれば，$t$も無理数であることを示しなさい．
公立 岐阜薬科大学 2010年 第1問次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある．
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2010年 第4問座標平面上に正十二角形があり，その外接円の中心を$\mathrm{C}(c,\ 0)$とする．正十二角形の頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{12}$はこの順に反時計まわりにならんでいる．点$\mathrm{A}_1$の座標を$(a,\ b)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}_7$の座標を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}_2$と$\mathrm{A}_8$の座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_7 \mathrm{A}_8$は面積が$9$であり，重心の座標が$(-3,\ -1)$であるとき，$a,\ b,\ c$の値をすべて求めよ．
(1)点$\mathrm{A}_7$の座標を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}_2$と$\mathrm{A}_8$の座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_7 \mathrm{A}_8$は面積が$9$であり，重心の座標が$(-3,\ -1)$であるとき，$a,\ b,\ c$の値をすべて求めよ．
公立 横浜市立大学 2010年 第2問座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$\mathrm{O}$を始点とする半直線上の二点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$について$\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}=4$が成立するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は$C$に関して対称であるという（下の図では，$\mathrm{P}$は$C$の内側に取ってある）．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$C$に関して対称な点$\mathrm{Q}$の座標を$x,\ y$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点を除いた曲線
\[ (x-2)^2+(y-3)^2=13,\quad (x,\ y) \neq (0,\ 0) \]
上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$C$に関して対称な点$\mathrm{Q}$の座標を$x,\ y$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点を除いた曲線
\[ (x-2)^2+(y-3)^2=13,\quad (x,\ y) \neq (0,\ 0) \]
上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2010年 第2問一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき，次の問いに答えよ．なお，正二十面体は，すべての面が合同な正三角形であり，各頂点は$5$つの正三角形に共有されている．
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．
公立 釧路公立大学 2010年 第3問次の$2$つの円$C_1$と円$C_2$がある．このとき，以下の各問に答えよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
C_1: & x^2+y^2-9=0 \\
C_2: & x^2-2x+y^2-6y-7=0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(1)円$C_2$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線と円$C_2$の中心との距離を求めよ．
(4)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点と点$(-2,\ -2)$を通る円の方程式を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
C_1: & x^2+y^2-9=0 \\
C_2: & x^2-2x+y^2-6y-7=0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(1)円$C_2$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線と円$C_2$の中心との距離を求めよ．
(4)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点と点$(-2,\ -2)$を通る円の方程式を求めよ．