「中心」について
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私立 藤田保健衛生大学 2010年 第2問円$\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3,\ \cdots$があり，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．
このとき
(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[ ]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[ ]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[ ]$である．
(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．
このとき
(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[ ]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[ ]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[ ]$である．
私立 日本女子大学 2010年 第3問$a$を実数（ただし，$a$は$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$にも，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$にも等しくない）とする．$a_1=a$とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P}_n \left( a_n,\ \frac{1}{2} a_n^2 \right)$における$C$の接線を$\ell_n$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} \left( a_{n+1},\ \frac{1}{2} a_{n+1}^2 \right)$における$C$の接線$\ell_{n+1}$の傾きは，$\mathrm{P}_n$を中心として$\ell_n$を正の向きに$60^\circ$回転した直線の傾きに等しい．
(1)$a_2$を$a$の式で表せ．
(2)$a_3$を$a$の式で表せ．
(3)$a_4$を$a$の式で表せ．
(4)$a_{14}$を$a$の式で表せ．
放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P}_n \left( a_n,\ \frac{1}{2} a_n^2 \right)$における$C$の接線を$\ell_n$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} \left( a_{n+1},\ \frac{1}{2} a_{n+1}^2 \right)$における$C$の接線$\ell_{n+1}$の傾きは，$\mathrm{P}_n$を中心として$\ell_n$を正の向きに$60^\circ$回転した直線の傾きに等しい．
(1)$a_2$を$a$の式で表せ．
(2)$a_3$を$a$の式で表せ．
(3)$a_4$を$a$の式で表せ．
(4)$a_{14}$を$a$の式で表せ．
私立 中央大学 2010年 第2問地球が半径$6378 \, \mathrm{km}$の完全な球であると仮定する．地球の中心を$\mathrm{O}$，北緯$45$度，東経$150$度の地点を$\mathrm{A}$，南緯$45$度，西経$120$度の地点を$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ地球の表面上を最短の時間で移動するときの$\mathrm{AB}$間の距離を求めよ．ただし，円周率の値は$3.14$とする．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ地球の表面上を最短の時間で移動するときの$\mathrm{AB}$間の距離を求めよ．ただし，円周率の値は$3.14$とする．
私立 北海道医療大学 2010年 第2問$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，図のように辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$となるようにとる．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$r$とし，$\triangle \mathrm{ADC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}^\prime$，半径を$r^\prime$とする．
\mon[$(5$-$1)$] $r$と$r^\prime$の値を求めよ．
\mon[$(5$-$2)$] 線分$\mathrm{OO}^\prime$の長さを$L$とする．$L^2$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$r$とし，$\triangle \mathrm{ADC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}^\prime$，半径を$r^\prime$とする．
\mon[$(5$-$1)$] $r$と$r^\prime$の値を求めよ．
\mon[$(5$-$2)$] 線分$\mathrm{OO}^\prime$の長さを$L$とする．$L^2$の値を求めよ．
私立 東京女子大学 2010年 第5問座標平面上に点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$があり，原点$\mathrm{O}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}$という関係が成り立っている．$\mathrm{P}$が，点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円周$C$上をうごくとき，
(1)点$\mathrm{Q}$の描く図形$D$を図示せよ．
(2)$C$と$D$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の描く図形$D$を図示せよ．
(2)$C$と$D$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第2問$xy$平面上に，原点Oを中心とする半径1の円$C$があり，点Pは円$C$の周上を動く．また点Pを中心とする半径$r$の円$D$の周上には点Qがある．いま，点Pが点$(1,\ 0)$から円$C$上を反時計回りに動き，同時に点Qは点$(1+r,\ 0)$から円$D$上を時計回りに動く．ただし，点Pは円$C$上で，点Qは円$D$上でともに等速円運動を行い，点Pが円$C$を一周したとき点Qも円$D$を一周する．次の問いに答えよ．
(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．
(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．
公立 県立広島大学 2010年 第4問放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$について，次の問いに答えよ．
(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
公立 高知工科大学 2010年 第1問Oを原点とする座標平面上に点A$(7,\ 0)$，B$(4,\ 4)$がある．次の各問に答えよ．
(1)$\triangle$OABの外接円の半径を求めよ．
(2)$\triangle$OABの外接円の中心の座標を求めよ．
(3)$\triangle$OABの内接円の半径を求めよ．
(4)$\triangle$OABの内接円の中心の座標を求めよ．
(1)$\triangle$OABの外接円の半径を求めよ．
(2)$\triangle$OABの外接円の中心の座標を求めよ．
(3)$\triangle$OABの内接円の半径を求めよ．
(4)$\triangle$OABの内接円の中心の座標を求めよ．
公立 高知工科大学 2010年 第2問座標平面上に円$C:x^2+y^2-8x+2y+7=0$と点A$(0,\ 1)$がある．円$C$の中心をB，半径を$r$とする．また点Aを通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2010年 第2問座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を原点に関して対称な位置にとる．また，点$\mathrm{Q}$を平面上の任意の点とし，$L={\mathrm{QP}_1}^2+{\mathrm{QP}_2}^2$とおく．
(1)$\mathrm{Q}$を固定したとき，$L$は$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$が放物線$y=-x^2+5x-8$上を動くとき，$L$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$を固定したとき，$L$は$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$が放物線$y=-x^2+5x-8$上を動くとき，$L$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．