「中心」について
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(55ページ目:全588問中541問~550問を表示)![防衛医科大学校](./img/univ/boueiidai.png)
座標平面上に,点$\mathrm{P}(p,\ q)$を中心とする楕円がある.長軸,短軸がそれぞれ$x$軸,$y$軸に平行であり,それぞれの長さは$4,\ 2$である.このとき,以下の問に答えよ.
(1)この楕円の方程式を求めよ.
(2)原点から,この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような,点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて,図示せよ.
(3)さらに,原点から,この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような,点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて,図示せよ.
(1)この楕円の方程式を求めよ.
(2)原点から,この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような,点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて,図示せよ.
(3)さらに,原点から,この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような,点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて,図示せよ.
![大阪教育大学](./img/univ/osakakyouiku.png)
平面上に,点O,Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる.Oを中心にAを反時計回りに,$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB,$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す.次の問に答えよ.
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ.
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする.また,Bを通って直線ACに平行な直線と,直線OAとの交点をEとする.$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す.このとき,$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ.
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ.
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする.また,Bを通って直線ACに平行な直線と,直線OAとの交点をEとする.$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す.このとき,$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ.
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
![山梨大学](./img/univ/yamanashi.png)
次の各問いに答えよ.
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ.
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち,$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ.
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り,$x-2$で割ると$10$余る.$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ.
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ.
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち,$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ.
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り,$x-2$で割ると$10$余る.$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
次の各問いに答えよ.
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする.また,直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ.
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ.
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき,$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ.
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする.また,直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ.
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ.
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき,$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
座標平面において,点C$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし,半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする.$S$上に点N$(0,\ 1)$をとり,$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする.このとき,次の各問いに答えよ.ただし,Oは原点を表すものとする.
(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり,直線NPと円$S$との交点のうち,Nと異なるものをQとする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき,$a,\ b$を$x$で表せ.
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$,P$_2(x_2,\ 0)$をとる.直線NP$_1$と円$S$との交点のうち,Nと異なるものをQ$_1$とし,直線NP$_2$と円$S$との交点のうち,Nと異なるものをQ$_2$とする.このとき,$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする.
(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり,直線NPと円$S$との交点のうち,Nと異なるものをQとする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき,$a,\ b$を$x$で表せ.
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$,P$_2(x_2,\ 0)$をとる.直線NP$_1$と円$S$との交点のうち,Nと異なるものをQ$_1$とし,直線NP$_2$と円$S$との交点のうち,Nと異なるものをQ$_2$とする.このとき,$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
次の各問いに答えよ.
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする.また,直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ.
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ.
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき,$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ.
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする.また,直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ.
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ.
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき,$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ.
![東京農工大学](./img/univ/tokyonoukou.png)
Oを原点とする座標空間にある,中心C$(1,\ 1,\ \sqrt{10})$,半径$3\sqrt{3}$の球面を$S$とする.次の問いに答えよ.
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし,$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする.P,Qの座標を求めよ.
(2)2点O,Cを通る直線と$S$との交点のうち,$z$座標が正であるものをRとする.Rの座標を求めよ.
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ.
(4)4点O,P,Q,Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ.
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする.このとき,$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ.
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし,$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする.P,Qの座標を求めよ.
(2)2点O,Cを通る直線と$S$との交点のうち,$z$座標が正であるものをRとする.Rの座標を求めよ.
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ.
(4)4点O,P,Q,Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ.
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする.このとき,$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
座標平面において,点$\mathrm{C} \displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし,半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする.$S$上に点$\mathrm{N}(0,\ 1)$をとり,$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする.このとき,次の各問いに答えよ.ただし,$\mathrm{O}$は原点を表すものとする.
(1)$x$軸上に点$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとり,直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき,$a,\ b$を$x$で表せ.
(2)$x$軸上に$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$をとる.直線$\mathrm{NP}_1$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_1$とし,直線$\mathrm{NP}_2$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_2$とする.このとき,$x_1 x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする.
(1)$x$軸上に点$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとり,直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき,$a,\ b$を$x$で表せ.
(2)$x$軸上に$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$をとる.直線$\mathrm{NP}_1$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_1$とし,直線$\mathrm{NP}_2$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_2$とする.このとき,$x_1 x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする.
![小樽商科大学](./img/univ/otaru.png)
座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ b)$を,原点を中心として$30^\circ$回転移動した点$\mathrm{B}$の$x$座標が$\sqrt{3}-2$で更に,点$\mathrm{B}$を,原点を中心として$-60^\circ$回転移動した点$\mathrm{C}$の$y$座標が$-1+2 \sqrt{3}$であるとき,点$\mathrm{A}(a,\ b)$を求めよ.
![京都教育大学](./img/univ/kyotokyouiku.png)
中心が$(0,\ 0,\ 1)$,半径が1の球面が,$yz$平面に平行で点$(a,\ 0,\ 0) \ (0<a<1)$を通る平面と交わってできる図形を$C$とする.これに対して,次の問に答えよ.
(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする.$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ.
(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする.$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ.