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国立 防衛医科大学校 2010年 第3問座標平面上に，点$\mathrm{P}(p,\ q)$を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれ$x$軸，$y$軸に平行であり，それぞれの長さは$4,\ 2$である．このとき，以下の問に答えよ．
(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第1問平面上に，点O，Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
国立 山梨大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第2問座標平面において，点C$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする．$S$上に点N$(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，Oは原点を表すものとする．
(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり，直線NPと円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0)$をとる．直線NP$_1$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_1$とし，直線NP$_2$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_2$とする．このとき，$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．
(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり，直線NPと円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0)$をとる．直線NP$_1$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_1$とし，直線NP$_2$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_2$とする．このとき，$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．
国立 鹿児島大学 2010年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第1問Oを原点とする座標空間にある，中心C$(1,\ 1,\ \sqrt{10})$，半径$3\sqrt{3}$の球面を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第3問座標平面において，点$\mathrm{C} \displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする．$S$上に点$\mathrm{N}(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表すものとする．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$をとる．直線$\mathrm{NP}_1$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_1$とし，直線$\mathrm{NP}_2$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，$x_1 x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$をとる．直線$\mathrm{NP}_1$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_1$とし，直線$\mathrm{NP}_2$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，$x_1 x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．
国立 小樽商科大学 2010年 第5問座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ b)$を，原点を中心として$30^\circ$回転移動した点$\mathrm{B}$の$x$座標が$\sqrt{3}-2$で更に，点$\mathrm{B}$を，原点を中心として$-60^\circ$回転移動した点$\mathrm{C}$の$y$座標が$-1+2 \sqrt{3}$であるとき，点$\mathrm{A}(a,\ b)$を求めよ．
国立 京都教育大学 2010年 第4問中心が$(0,\ 0,\ 1)$，半径が1の球面が，$yz$平面に平行で点$(a,\ 0,\ 0) \ (0<a<1)$を通る平面と交わってできる図形を$C$とする．これに対して，次の問に答えよ．
(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする．$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする．$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．