「中心」について
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(54ページ目:全588問中531問~540問を表示)![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
座標平面に原点O$(0,\ 0)$,点A$(-1,\ 3)$,点B$(4,\ 8)$がある.さらに,2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O,A,Bを通るものとする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$f(x)$を求めよ.
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ.
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち,3点O,A,B以外の点の座標を求めよ.
(1)$f(x)$を求めよ.
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ.
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち,3点O,A,B以外の点の座標を求めよ.
![岡山大学](./img/univ/okayama.png)
原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし,原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする.$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり,また,$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある.ただし,$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする.線分P$_1$P$_2$の中点をQとし,点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ.
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする.このとき,$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ.
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ.
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする.このとき,$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ.
![大分大学](./img/univ/oita.png)
中心の$xyz$座標が$(0,\ 0,\ 1)$で半径が1の球$G$と点P$(0,\ -2,\ a)$に関して,点Pを通る直線が球$G$と共有点をもつとき,この直線と$xy$平面の交点全体が作る図形の外形を表す方程式を求めよ.また,その方程式が表す図形を実数$a$に関して分類せよ.
![熊本大学](./img/univ/kumamoto.png)
原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分$C$について考える.$C$上に3点A$\displaystyle \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$,P$(1,\ 0)$,Q$(0,\ 1)$をとる.$s+t=1$を満たす$s,\ t \ (0<s<1,\ 0<t<1)$に対し,弧AQ上に点Xを2つのベクトル
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる.以下の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ.
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる.以下の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ.
![京都工芸繊維大学](./img/univ/kyotokousen.png)
$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.点Oを中心とする円周上に反時計回りに並んだ5点A,B,C,D,Eがあり,$\angle \text{AOB},\ \angle \text{BOC},\ \angle \text{COD},\ \angle \text{DOE}$はすべて$\theta$に等しい.$\alpha=2\pi-4\theta,\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ t=\cos \theta$とする.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとき,$\alpha$は$\theta$に等しいことを示せ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとき,$\alpha$は$\theta$に等しいことを示せ.
![佐賀大学](./img/univ/saga.png)
座標平面上で,直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって,点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする.ただし,$m$は0でない定数とし,点Pは$\ell$上にないとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと,線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ.
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする.このとき,合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ.
(3)(2)で求めた2つの行列は,原点Oを中心とし,角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である.それぞれの$\theta$を求めよ.
(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと,線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ.
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする.このとき,合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ.
(3)(2)で求めた2つの行列は,原点Oを中心とし,角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である.それぞれの$\theta$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
原点を中心とする半径1の円を$C_1$とする.$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たす定数$\theta$に対して,$C_1$上に点P$(\sin \theta,\ \cos \theta)$,点Q$(-\cos \theta,\ -\sin \theta)$,点R$(-\sin \theta,\ -\cos \theta)$をとる.さらに,Pを中心とし,Qを通る円を$C_2$,Rを中心とし,Qを通る円を$C_3$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち,Qと異なる点をSとする.このとき,$C_1$はSを通ることを証明せよ.
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち,Qと異なる点をSとする.このとき,$C_1$はSを通ることを証明せよ.
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ.
![高知大学](./img/univ/kouchi.png)
$xy$平面上の原点を中心として半径1の円$C$を考える.$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とし,$C$上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$をPとする.Pで$C$に接し,さらに$y$軸と接する円でその中心が円$C$の内部にあるものを$S$とし,その中心Qの座標を$(u,\ v)$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$u$と$v$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$としたとき,点Qの軌跡の式を求めよ.さらに,その軌跡を図示せよ.
(3)円$S$の面積を$D(\theta)$とするとき,次の値を求めよ.
\[ \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \frac{D(\theta)}{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta \right)^2} \]
(1)$u$と$v$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$としたとき,点Qの軌跡の式を求めよ.さらに,その軌跡を図示せよ.
(3)円$S$の面積を$D(\theta)$とするとき,次の値を求めよ.
\[ \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \frac{D(\theta)}{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta \right)^2} \]
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
$xy$平面上の放物線$C:y=x^2-3x$と,点P$(1,\ -6)$に対して,次の問いに答えよ.
(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ.
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ,正のものをRとする.Sは直線QR上にありQと異なる点とする.Sの$x$座標を$t$とし,P,Q,Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき,$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ.
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ.さらに,(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ.
(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ.
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ,正のものをRとする.Sは直線QR上にありQと異なる点とする.Sの$x$座標を$t$とし,P,Q,Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき,$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ.
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ.さらに,(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
座標平面上に,点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{P}(0,\ h) \ (0<h<2)$がある.点$\mathrm{P}$を通る直線$y=h$と円との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする.曲線$C:y=\alpha x^2$は点$\mathrm{Q}$を通るとし,$y$軸と曲線$C$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を図形$\mathrm{A}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ.
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し,$S$の最大値を求めよ.
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し,$V$の最大値を求めよ.
(4)$S,\ V$は,それぞれ(2),(3)で求めたものとする.$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき,$X$の最大値を求めよ.
(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ.
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し,$S$の最大値を求めよ.
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し,$V$の最大値を求めよ.
(4)$S,\ V$は,それぞれ(2),(3)で求めたものとする.$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき,$X$の最大値を求めよ.