「中心」について
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(51ページ目:全588問中501問~510問を表示)![首都大学東京](./img/univ/shuto.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と,点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある.$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり,$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする.$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき,以下の問いに答えなさい.
(1)$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい.
(2)$r_1+r_2 < 2$とする.$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき,$\cos \theta$を求めなさい.
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい.
(1)$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい.
(2)$r_1+r_2 < 2$とする.$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき,$\cos \theta$を求めなさい.
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい.
![大阪市立大学](./img/univ/osakashiritsu.png)
座標平面において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし,点$\mathrm{P}(p,\ q)$は$p^2 +q^2 > 1$をみたすものとする.$\mathrm{P}$から$C$へ接線をひき,その接点を$\mathrm{T}(s,\ t)$とする.$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{T}$を通る円を$D$として,$D$は点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通るものとする.次の問いに答えよ.
(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ.
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し,$a$を$p$を用いて表せ.
(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ.
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し,$a$を$p$を用いて表せ.
![滋賀県立大学](./img/univ/shigakenritsu.png)
$x$軸とのなす角が$\displaystyle 2\theta \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$で原点Oを通る直線$\ell$と,$x$軸上の定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$と$y$軸上の定点B$(0,\ b) \ (b>0)$がある.円$C_1$,円$C_2$は$\ell$と接し,かつ$C_1$は$x$軸とAで接し,$C_2$は$y$軸とBで接するものとする.$C_1$,$C_2$の中心をそれぞれP$_1$,P$_2$とする.ただし,P$_1$,P$_2$は第1象限の点である.
(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ.
(2)$\theta$を変数としたとき,$S$の最小値を求めよ.
(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ.
(2)$\theta$を変数としたとき,$S$の最小値を求めよ.
![公立はこだて未来大学](./img/univ/hakodatemirai.png)
座標平面において,原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す.ただし,$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする.中心が第1象限に属し,直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える.さらに,円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し,中心が第1象限に属する2つの円のうち,面積が大きいものを$C^\prime$で表す.以下の問いに答えよ.
(1)円$C$の方程式を求めよ.
(2)円$C^\prime$の半径を,$\theta$の関数として表せ.
(3)円$C^\prime$の円周の長さが,円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ.
(1)円$C$の方程式を求めよ.
(2)円$C^\prime$の半径を,$\theta$の関数として表せ.
(3)円$C^\prime$の円周の長さが,円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円の内部にある点を$\mathrm{A}$とする.この円周上の点$\mathrm{P}$について,線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{P}$がこの円周上を動くとき,点$\mathrm{Q}$が描く軌跡を求めよ.
![福岡女子大学](./img/univ/fukuokajoshi.png)
座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし,一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする.また,$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする.原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して,点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める:
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい.
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい.$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$ad-bc>0$であることを示しなさい.
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる.このことを用いて,図のように,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい.ただし,$x_4=x_1$,$y_4=y_1$とする.
(図は省略)
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい.
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい.$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$ad-bc>0$であることを示しなさい.
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる.このことを用いて,図のように,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい.ただし,$x_4=x_1$,$y_4=y_1$とする.
(図は省略)
![三重県立看護大学](./img/univ/miekenritsu.png)
円$x^2+y^2+lx+my+n=0$が,点$\mathrm{A}(-4,\ 3)$,点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$,点$\mathrm{C}(2,\ 3)$の$3$点を通るとき,次の問いに答えなさい.
(1)$l,\ m,\ n$の値を求めなさい.
(2)この円の中心の座標と半径を求めなさい.
(3)この円の面積を求めなさい.
(1)$l,\ m,\ n$の値を求めなさい.
(2)この円の中心の座標と半径を求めなさい.
(3)この円の面積を求めなさい.
![和歌山県立医科大学](./img/univ/wakayamakenritsuika.png)
座標平面において原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし,点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする.動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を反時計回りに$1$秒間に$2$回転の速さで等速円運動をし,動点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を反時計回りに$1$秒間に$1$回転の速さで等速円運動をしている.時刻$t=0$のとき,$\mathrm{P}$は$(0,\ 1)$にあり,$\mathrm{Q}$は$(4,\ 0)$にあるものとする.$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離の$2$乗の最大値と最小値,およびそれらをとる$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
![横浜市立大学](./img/univ/yokohamashiritsu.png)
平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から,中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る.つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて,$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り,これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく.
$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸,$x$軸上の正の位置にとり,扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする.
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする.
(図は省略)
以下の問いに答えよ.
(1)$S$の半径を$b$とする.$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し,$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする.$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ.
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする.$r$を$a$と$\theta$を用いて表し,定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ.ただし,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである.
$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸,$x$軸上の正の位置にとり,扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする.
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする.
(図は省略)
以下の問いに答えよ.
(1)$S$の半径を$b$とする.$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し,$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする.$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ.
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする.$r$を$a$と$\theta$を用いて表し,定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ.ただし,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである.
![奈良県立医科大学](./img/univ/narakenritsuika.png)
$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし,円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して,点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし,$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく.このとき,円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し,接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する.
(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として,接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ.
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ.
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し,点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ.
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か,または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし,$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく.このとき,円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し,接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する.
(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として,接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ.
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ.
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し,点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ.
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か,または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ.