「中心」について
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私立 神奈川大学 2011年 第3問座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に，この円の外にある点$\mathrm{P}$から$2$本の接線をひき，それらのなす角のうち$C$を挟むものの大きさを$\theta$とする．さらに，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）
私立 北星学園大学 2011年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}:\angle \mathrm{B}:\angle \mathrm{C}=5:3:1$であり，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の中心を$\mathrm{O}$とする．線分$\mathrm{AO}$の延長と円$\mathrm{O}$との交点を$\mathrm{D}$とする．円$\mathrm{O}$において弦$\mathrm{BC}$と平行に別の弦$\mathrm{EF}$を引く．ただし，$\mathrm{EF}$は線分$\mathrm{OD}$と交わり，弧$\mathrm{BD}$上に点$\mathrm{E}$がくるような位置にあるものとする．以下の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAF}$であることを証明せよ．
(1)$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAF}$であることを証明せよ．
私立 北海道科学大学 2011年 第14問$3$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$，$\mathrm{C}(7,\ 1)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心は$[ ]$であり，$3$点を通る円の中心は$[ ]$である．
私立 久留米大学 2011年 第5問$y=|2x-1|$のグラフと$2$点で接する半径$3$の円の中心座標は$[$11$]$であり，$2$つの接点の座標は$[$12$]$と$[$13$]$である．
私立 東北医科薬科大学 2011年 第2問中心が$\mathrm{O}$で半径$1$の円上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対し
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{（零ベクトル）} \]
を満たす実数$k$が存在するという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=[ア]$である．
以下$0<k$とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{[イ]}{[ウ]} \cos \frac{\theta}{[エ]}$が成り立つ．
(3)$F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと
\[ F=[オカキ] k^2+[ク] k+[ケ] \]
である．
(4)$F$は$\displaystyle k=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき最大値$[シ]$をとる．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{（零ベクトル）} \]
を満たす実数$k$が存在するという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=[ア]$である．
以下$0<k$とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{[イ]}{[ウ]} \cos \frac{\theta}{[エ]}$が成り立つ．
(3)$F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと
\[ F=[オカキ] k^2+[ク] k+[ケ] \]
である．
(4)$F$は$\displaystyle k=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき最大値$[シ]$をとる．
私立 大同大学 2011年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$C$とする．点$\mathrm{A}(5 \sqrt{2},\ 2 \sqrt{2})$を通り円$C$に接する直線で傾きが正のものを$\ell$とし，$C$と$\ell$の接点を$\mathrm{P}$とする．
(1)$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\angle \mathrm{OAP}=\beta$とおく．$\tan \alpha$，$\tan \beta$を求めよ．
(3)$\ell$の傾きを求めよ．
(1)$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\angle \mathrm{OAP}=\beta$とおく．$\tan \alpha$，$\tan \beta$を求めよ．
(3)$\ell$の傾きを求めよ．
私立 千葉工業大学 2011年 第2問次の各問に答えよ．
(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．
(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．
私立 福岡大学 2011年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BN}$と$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ]$となる．さらに，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{AP}=4$のとき，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[ ]$である．
(2)点$(2,\ -3)$を点$(1,\ -1)$に移し，点$(-1,\ 4)$を点$(7,\ -2)$に移す$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めると，$A=[ ]$である．また，原点を中心として一定の角だけ回転する回転移動$g$が点$(3,\ 3)$を点$(1+2 \sqrt{2},\ 1-2 \sqrt{2})$に移すとき，$g$を表す行列$B$を求めると，$B=[ ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$a_7,\ a_8$の値を求めると，$(a_7,\ a_8)=[ ]$である．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k}$の値は$[ ]$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BN}$と$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ]$となる．さらに，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{AP}=4$のとき，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[ ]$である．
(2)点$(2,\ -3)$を点$(1,\ -1)$に移し，点$(-1,\ 4)$を点$(7,\ -2)$に移す$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めると，$A=[ ]$である．また，原点を中心として一定の角だけ回転する回転移動$g$が点$(3,\ 3)$を点$(1+2 \sqrt{2},\ 1-2 \sqrt{2})$に移すとき，$g$を表す行列$B$を求めると，$B=[ ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$a_7,\ a_8$の値を求めると，$(a_7,\ a_8)=[ ]$である．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k}$の値は$[ ]$である．
私立 関西学院大学 2011年 第2問座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．
(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．
(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．