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私立 金沢工業大学 2011年 第4問円$x^2+y^2+4x-2y-4=0$を$C$とし，直線$y=-x+2$を$\ell$とする．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$の座標は$([クケ],\ [コ])$であり，半径は$[サ]$である．
(2)直線$\ell$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$([シ],\ [ス])$である．
(3)点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の間の距離は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]} \sqrt{[タ]}$である．
(4)円$C$と直線$\ell$の$2$つの共有点の間の距離は$[チ] \sqrt{[ツ]}$である．
(5)点$\mathrm{Q}$を中心とし，円$C$と同じ半径をもつ円を$C^\prime$とすると，$2$つの円$C$と$C^\prime$の共通部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]} \pi-[ナ]$である．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$の座標は$([クケ],\ [コ])$であり，半径は$[サ]$である．
(2)直線$\ell$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$([シ],\ [ス])$である．
(3)点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の間の距離は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]} \sqrt{[タ]}$である．
(4)円$C$と直線$\ell$の$2$つの共有点の間の距離は$[チ] \sqrt{[ツ]}$である．
(5)点$\mathrm{Q}$を中心とし，円$C$と同じ半径をもつ円を$C^\prime$とすると，$2$つの円$C$と$C^\prime$の共通部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]} \pi-[ナ]$である．
私立 上智大学 2011年 第3問$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
私立 東北学院大学 2011年 第3問$2$つの円$(x+2)^2+(y+2)^2=1$と$(x-6)^2+(y-4)^2=9$を内部または周上に含む円で，半径が最小のものを$C$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C$の中心$\mathrm{A}$の座標と半径$r$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$C$の周上を動くとき，$x+2y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)円$C$の中心$\mathrm{A}$の座標と半径$r$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$C$の周上を動くとき，$x+2y$の最大値と最小値を求めよ．
私立 南山大学 2011年 第2問正の実数$a,\ b$について，座標平面上に$2$つの円$C_1:x^2+y^2-8x-20y+91=0$，$C_2:x^2+y^2+4x-4y+8-a=0$と放物線$D:y=b(x-4)^2-2$を考える．
(1)$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$が$1$点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$を除いて$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$\mathrm{P}$の座標と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$C_1$と$D$が異なる$2$点のみを共有するとき，$b$の値を求めよ．
(1)$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$が$1$点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$を除いて$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$\mathrm{P}$の座標と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$C_1$と$D$が異なる$2$点のみを共有するとき，$b$の値を求めよ．
私立 南山大学 2011年 第2問中心の座標がそれぞれ$(-1,\ a)$，$(1,\ b)$で，ともに$x$軸に接している$2$つの円がある．これらの円は点$\mathrm{P}$で互いに接している．ただし，$a,\ b>0$とする．
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$で$2$つの円に接する直線はある定点を通る．この定点の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
（図は省略）
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$で$2$つの円に接する直線はある定点を通る．この定点の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
（図は省略）
私立 明治大学 2011年 第4問次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．
$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）
$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）
私立 甲南大学 2011年 第2問座標平面上において，原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1+\sqrt{3})$，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3})$，点$\mathrm{C}(1+\sqrt{3},\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
私立 龍谷大学 2011年 第2問図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．点$\mathrm{A}$は第$3$象限にあり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$は$y$軸に関して対称である．また，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$である．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．
私立 名城大学 2011年 第3問$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，円$C:x^2+lx+y^2+my+n=0$（$l,\ m,\ n$は実数）があり，$C$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．
(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．
(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．
私立 名城大学 2011年 第3問$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，円$C:x^2+lx+y^2+my+n=0$（$l,\ m,\ n$は実数）があり，$C$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．
(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．
(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．