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公立 九州歯科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3)さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4)$\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3)さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4)$\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2012年 第4問$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．
公立 京都府立大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(5,\ 3,\ -3)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ -1)$をとる．中心が$\mathrm{C}(5,\ 2,\ -2)$，半径が$r$の球面を$S$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\ell$と$S$が平面$z=1$で交点$\mathrm{D}$をもつ．以下の問いに答えよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．
公立 北九州市立大学 2012年 第2問以下の問いの空欄$[サ]$～$[ナ]$に適する数値，式を記せ．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，
\[ \alpha^2+\beta^2=[サ],\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=[シ],\quad \alpha^3+\beta^3=[ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=4$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(8,\ 0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}=2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は中心$[セ]$，半径$[ソ]$の円である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．方程式$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta+1=0$を解くと$\theta=[タ],\ [チ]$である．
(4)$4^{45}$は$[ツ]$桁の数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{17}$は，小数第$[テ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ト]$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は，$S_n=[ナ]$である．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，
\[ \alpha^2+\beta^2=[サ],\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=[シ],\quad \alpha^3+\beta^3=[ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=4$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(8,\ 0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}=2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は中心$[セ]$，半径$[ソ]$の円である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．方程式$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta+1=0$を解くと$\theta=[タ],\ [チ]$である．
(4)$4^{45}$は$[ツ]$桁の数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{17}$は，小数第$[テ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ト]$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は，$S_n=[ナ]$である．
国立 豊橋技術科学大学 2011年 第2問空間に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ 0,\ \frac{3}{2} \right)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$と，$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$がある．また，線分$\mathrm{BP}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$s$と$t$は実数であり，$0<u<1$である．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$u,\ s,\ t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす$u$を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$yz$平面に平行な平面$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{4}$上にあり，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は必ずある円$C$の上にある．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$u,\ s,\ t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす$u$を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$yz$平面に平行な平面$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{4}$上にあり，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は必ずある円$C$の上にある．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．
国立 京都大学 2011年 第5問$xyz$空間で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の球面$S$と$3$点$(4,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 4,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 4)$を通る平面$\alpha$が共有点を持つことを示し，点$(x,\ y,\ z)$がその共有点全体の集合を動くとき，積$xyz$が取り得る値の範囲を求めよ．
国立 一橋大学 2011年 第2問点Oを中心とする半径$r$の円周上に，2点A，Bを$\angle \text{AOB} < \displaystyle\frac{\pi}{2}$となるようにとり$\theta = \angle \text{AOB}$とおく．この円周上に点Cを，線分OCが線分ABと交わるようにとり，線分AB上に点Dをとる．また，点Pは線分OA上を，点Qは線分OB上を，それぞれ動くとする．
(1)$\text{CP}+\text{PQ}+\text{QC}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．
(2)$a=\text{OD}$とおく．$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$a$と$\theta$で表せ．
(3)さらに，点Dが線分AB上を動くときの$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．
(1)$\text{CP}+\text{PQ}+\text{QC}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．
(2)$a=\text{OD}$とおく．$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$a$と$\theta$で表せ．
(3)さらに，点Dが線分AB上を動くときの$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．
国立 東京大学 2011年 第1問座標平面において，点P$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C$とする．$a$を$0<a<1$を満たす実数とし，直線$y=a(x+1)$と$C$との交点をQ，Rとする．
(1)$\triangle$PQRの面積$S(a)$を求めよ．
(2)$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$S(a)$が最大となる$a$を求めよ．
(1)$\triangle$PQRの面積$S(a)$を求めよ．
(2)$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$S(a)$が最大となる$a$を求めよ．
国立 九州大学 2011年 第4問空間内の$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
国立 秋田大学 2011年 第2問円$C_1:x^2+y^2=25$と円$C_2:(x-10)^2+(y-5)^2=50$の$2$つの交点と原点を通る円を$C_3$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C_3$の中心と半径を求めよ．
(2)点P$(x,\ y)$が円$C_3$上を動くとき，$2y-x$の最大値を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円の中心の軌跡を求めよ．
(4)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円を$C$とする．点Q$(x,\ y)$が円$C$上を動くとき，$2y-x$の最大値が最小となる円$C$の中心と半径を求めよ．
(1)円$C_3$の中心と半径を求めよ．
(2)点P$(x,\ y)$が円$C_3$上を動くとき，$2y-x$の最大値を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円の中心の軌跡を求めよ．
(4)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円を$C$とする．点Q$(x,\ y)$が円$C$上を動くとき，$2y-x$の最大値が最小となる円$C$の中心と半径を求めよ．