次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$，半径を$r$とするとき，$a=[　]$，$b=-[　]$，$r=\sqrt{[][]}$である．
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり，円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[　] \sqrt{[][]}$である．

(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき，

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[　]}{[][]}$，$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[　]}{[][]}$，

$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[　]-[　] \sqrt{[][][]}}{72}$である．

$a$を$a>2$であるような実数とする．座標平面上で，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$を$C_1$とし，点$(a,\ a)$を中心とし点$(1,\ 1)$を通る円を$C_2$とする．曲線$C_1$と円$C_2$の点$(1,\ 1)$以外の共有点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=x$に下ろした垂線と直線$y=x$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{H}$と点$(1,\ 1)$の距離を求めよ．
(3)$t$を正の実数とする．直線$y=x$上にあり点$(1,\ 1)$からの距離が$t$である点のうち，$x$座標が$1$より大きいものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$を通り直線$y=x$に垂直な直線と曲線$C_1$の交点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
(4)直線$y=x$と線分$\mathrm{BH}$，および曲線$C_1$で囲まれた部分を，直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．

原点O$(0,\ 0,\ 0)$と点A$(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，3点B$(1,\ 0,\ 0)$，C$(0,\ 2,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$がある．次の各問に答えよ．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とおく．原点$\mathrm{O}$を中心とする球面と平面$\alpha$との共有点が$1$点だけのとき，その球面の方程式を求めよ．

座標平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(r,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．Oを中心として，Aを反時計回りに$\theta$回転した点をA$^\prime$とし，線分ABと線分OA$^\prime$の交点をPとする．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数とし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす変数とする．$\theta$が不等式$\displaystyle \frac{1}{2}r \cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r \cos \theta$を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値$M$と，そのときのPの座標$(k,\ l)$を求めよ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において扇形$\mathrm{OAB}$を考える．ただし，点$\mathrm{A}$は$(1,\ 0)$であり，点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．扇形$\mathrm{OAB}$の中心角は，$x$ラジアン$\displaystyle \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$であるとする．点$\mathrm{B}$から$\mathrm{OA}$におろした垂線を$\mathrm{BC}$，点$\mathrm{A}$における円の接線が，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$を通る直線と交わる点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ODA}$，三角形$\mathrm{OAB}$，扇形$\mathrm{OAB}$の面積を，$x$を用いてそれぞれ表せ．
(2)不等式$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1$を示せ．ただし，$x \to +0$は，$x$が正の値をとりながら限りなく$0$に近づくことを表す．

中心が$y$軸上にある半径$r_1$の円$C_1$が放物線$y=x^2$に$2$点で接し \\
ている．$C_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$は$y$軸上に中心を持ち，放物線 \\
$y=x^2$に接する半径$r_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$の円で，$C_{n-1}$と図のよ \\
うに外接している．$r_1=1$とするとき，$r_n$を$n$の関数で表せ．
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