以下の$[　]$にあてはまる値を答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．

(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．

(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．

$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

$n$を$3$以上の整数とする．$xyz$空間の平面$z=0$上に，$1$辺の長さが$4$の正$n$角形$P$があり，$P$の外接円の中心を$\mathrm{G}$とおく．半径$1$の球$B$の中心が$P$の辺に沿って$1$周するとき，$B$が通過してできる立体を$K_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$をとる．$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．

(i) $K_n$を平面$z=t (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(ii) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ．

(3)$\mathrm{G}$を通り，平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする．$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ．

$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，
\[ \mathrm{PA} = \mathrm{PB} = \mathrm{PC} = \mathrm{PD} = \sqrt{5} \]
である四角錐$\mathrm{PABCD}$を考える．
（図は省略）

(1)四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき
\[ \mathrm{PH}=[テ],\quad \mathrm{OH}=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
(2)辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき
\[ \mathrm{SP}=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \sqrt{[ネ]} \]
である．$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき
\[ \mathrm{ST}=\frac{[ノ]}{[ハ]},\quad \mathrm{CT}=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．さらに，四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は
\[ \frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}(p,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(0,\ q)$を通る直線が円$C$上の点$\mathrm{R}$において円$C$と接している．ただし，$p>1$，$q>1$とする．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さを$t$とするとき，$p$と$q$を$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る円の直径を$d$とするとき，$d^2$を$t$を用いて表せ．
(4)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$p$の値を求めよ．

$a$は$\displaystyle a>\frac{1}{2}$を満たす定数とする．座標平面上の半径$R$の円$C_1:x^2+(y-a)^2=R^2$は，$y>0$の表す領域にある．円$C_1$が放物線$y=x^2$と共有する点は$2$点のみである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$y$座標および$a$を，$R$を用いて表せ．
(2)円$C_1$と放物線$y=x^2$の共有点における放物線の$2$つの接線のうち傾きが正のものを$\ell$とする．$\ell$の式を$R$を用いて表せ．
(3)点$(0,\ -a)$を中心とする半径$r$の円$C_2$が直線$\ell$と接するとき，$r$を$R$を用いて表せ．

$n$を$2$以上の整数とする．

(1)平面上の平行な$2$直線上に，相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある．これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ．

(i) $n=5$のとき，この選び方は全部で$[アイウ]$通りあり，選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$[エオ]$通りある．
(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( [カ]-[キ] \right)$通りある．
ただし，$[カ]$，$[キ]$については，以下の$①$～$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ．ここで，同じものを何回選んでもよい．
\[ \begin{array}{lllllllll}
① n & & ② 2n & & ③ 3n & & ④ n^2 & & ⑤ 2n^2 \\
⑥ 3n^2 & & ④chi n^3 & & \maruhachi 2n^3 & & \marukyu 3n^3 & &
\end{array} \]

(2)$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある．これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ．

(i) $n=3$のとき，選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$[クケ]$通りある．

(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( [コ] n^{[サ]}-[シ] \right)}{[ス]}$通りある．
(iii) $n=12$のとき，選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$[セソ]$通りある．

座標平面上に円$x^2+y^2=4$と円上の点$\mathrm{P}(1,\ -\sqrt{3})$，$\mathrm{Q}(-1,\ -\sqrt{3})$が与えられている．$0<\theta<\pi$のとき，円上の点を$\mathrm{R}(2\cos \theta,\ 2\sin \theta)$とし，$\angle \mathrm{QPR}=\alpha,\ \angle \mathrm{PQR}=\beta$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)点$(2,\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-2,\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，弧$\mathrm{PAR}$に対する中心角と弧$\mathrm{QBR}$に対する中心角を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$2 \sin \alpha=\sqrt{3} \sin \beta$となるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

関数$f(x)=x^3+x^2-16x+3$が定める座標平面上の曲線を$C$とする．この曲線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{P}$とし，$f(x)$は$x=a$において極小値をとるとする．$x=a$に対応する曲線上の点を$\mathrm{Q}(a,\ f(a))$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\mathrm{R}(0,\ f(a))$で定める．$\triangle \mathrm{PQR}$を$y$軸を中心にして回転させて得られる円錐$\mathrm{M}$とそれに内接する円柱$\mathrm{N}$を考える．円柱$\mathrm{N}$の底面は，円柱$\mathrm{M}$の底面に含まれており，半径が$r$であるとき，この円柱$\mathrm{N}$の体積$V$を$r$の式で表せ．
(3)円柱$\mathrm{N}$の体積$V$が最大となるような$r$とそのときの体積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と直線$\ell:y=x$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$があり，$x$軸の正の部分を始線として，動径$\mathrm{OP}$の表す正の角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle \frac{1}{4}\pi<\theta<\pi$である．

(1)$\ell$に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$が最大になるときの$\theta$と$S$の値を求めよ．