次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式
\[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \]
が成り立つことを示せ．
(2)上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．

(i) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ii) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(iii) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．

線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．

線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．

座標平面上に2点P$(x,\ 2)$，Q$(1-\sqrt{3},\ y)$がある．

(1)原点を中心とする$60^\circ$の回転移動によって点Pが点Qに移るとき，$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x$と$y$は(1)で求めた値とする．点Pを点Qに，点Qを点Pに移す1次変換を表す行列$A$を求めよ．
(3)自然数$n$と(2)で求めた行列$A$に対し
\[ A+2A^2+3A^3+4A^4+\cdots +(2n-1)A^{2n-1}+2nA^{2n} \]
を求めよ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

座標空間内において，2点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA，平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$，および$C$上の動点Pがあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき，A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．
(3)(2)の図形の面積を求めよ．

座標空間内において，4点$(2,\ 0,\ 0)$，$(2,\ 1,\ 0)$，$(-2,\ 1,\ 0)$，$(-2,\ 0,\ 0)$を頂点とする長方形を$x$軸のまわりに回転してできる円柱と，原点を中心とする半径2の球との共通部分の体積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径1の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=2$上の点$\mathrm{P}(t,\ 2)$から円$C$に2本の接線を引き，その接点を$\mathrm{M},\ \mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{OP}$と弦$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．ただし，$t$は実数とする．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$y=2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．