中心$\mathrm{A}(1,\ 1)$，半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる直線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

図のように点$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を$12$等分する$12$個の点をとり，そのうちの$1$つを点$\mathrm{A}$とする．さらに点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が互いに異なるように選ぶ．ただし点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に時計の針の回転と逆の向きに並ぶものとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$が二等辺三角形になる確率を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{APQ}$の内部または周上にある確率を求めよ．
（図は省略）

$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=7$のとき次の問に答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ア]$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$[イ]$である．
(3)$\mathrm{A}$から円の中心$\mathrm{O}$を通る直線が$\mathrm{BC}$に交わる点を$\mathrm{D}$とすると，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$[ウ]$である．

$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(c,\ 0) (c>0)$がある．

(1)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$となる点$\mathrm{P}$は，点$([ア],\ [イ])$を中心とする半径$[ウ]$の円を描く．
(2)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}:\mathrm{PC}=4:2:1$となるような点$\mathrm{P}$が存在するのは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \leqq c \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$のときである．

地球を半径$1$の完全な球と仮定し，その球面を$S$と表す．また，地球の中心$\mathrm{O}$，そして，$S$上の，北緯$30^\circ$東経$60^\circ$の点$\mathrm{A}$，および，南緯$30^\circ$西経$60^\circ$の点$\mathrm{B}$の$3$点を含む平面を$\alpha$とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，赤道上にあり，それぞれ，東経$0^\circ$，東経$90^\circ$の点とする．また，北極点を点$\mathrm{R}$とする．そこで，原点が地球の中心$\mathrm{O}$であり，さらに，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$が$(0,\ 1,\ 0)$，そして，点$\mathrm{R}$が$(0,\ 0,\ 1)$と表される空間座標を考える．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めなさい．
(2)地球表面$S$上の東経が$135^\circ$の点で，平面$\alpha$上にあるものの緯度$\theta (-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ)$に対して，$\tan \theta$を求めなさい．ただし，北極点の緯度は$90^\circ$，南極点の緯度は$-90^\circ$とする．

座標平面上の点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$をとる．点$\mathrm{R}$を$C$上の点で$\angle \mathrm{QPR}=120^\circ$をみたし，$\mathrm{R}$の$x$座標は負であるようにとる．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を両端として，中心角が$120^\circ$である$C$の弧を$A$とする．さらに，$a$を実数の定数として，直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+a$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$A$と$\ell$の共有点の個数を求めよ．
(3)$A$と$\ell$が相異なる$2$つの共有点をもつとき，$A$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最大になるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 4)$をとる．中心が$\mathrm{D}$，半径が$2$の球面を$S$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$S$が$\alpha$と交わってできる図形を$F$とする．$\mathrm{D}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha$に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)$F$は$\mathrm{H}$を中心とする円であることを示せ．
(3)$F$の半径と中心の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$は$F$上を動く点とし，直線$\mathrm{EP}$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}(s,\ t,\ 0)$とする．このとき，$s,\ t$が満たす方程式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．

座標平面上において，原点を中心とする半径$1$の円に，放物線$\displaystyle C:y=-\frac{p}{2}x^2+q (p>0,\ q>0)$が異なる$2$点で接しているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$の満たす関係式および$p,\ q$の取りうる範囲を求めよ．
(2)$x$軸と$C$で囲まれた図形（ただし，$y \geqq 0$）の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(1)$の条件の下で$p$が動くとき，$S$の最小値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$，$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\theta=0$の場合，原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき，この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき，円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ．