次の問いに答えよ．

(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
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座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円$C$，点$\mathrm{A}(0,\ 7)$，点$\mathrm{B}(1,\ 6)$が与えられている．点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円を$C(\mathrm{P})$として，以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$円$C,\ C(\mathrm{P})$が共有点をもつための条件を$\alpha$のみを用いて表せ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$C$の上半円周（$y$座標が正の部分）上を動く点を$\mathrm{P}$，下半円周（$y$座標が負の部分）上を動く点を$\mathrm{Q}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\alpha \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle \angle \mathrm{QAB}=\beta \ \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(t,\ 0)$とする．

(1)$t$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さと線分$\mathrm{RQ}$の長さの比が$2:1$のとき，$t$を$\alpha$を用いて表せ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$\mathrm{A}$とする．半径$1$の円（以下，「動円」と呼ぶ）は，円$\mathrm{A}$に外接しながら，すべることなく転がる．ただし，動円の中心は円$\mathrm{A}$の中心に関し反時計回りに動く．動円上の点$\mathrm{P}$の始めの位置を$(2,\ 0)$とする．動円の中心と原点を結ぶ線分が$x$軸の正方向となす角を$\theta$として，$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かしたときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．
（図は省略）

(1)$C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ．
(3)$C$の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる．

一辺の長さが$1$の正十角形$D$が平面上にある．$D$の外接円を$C$とおき，$C$の中心を$\mathrm{O}$，$C$の半径を$R$とおく．$D$の頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$は$C$上でこの順に反時計回りに並んでいるとする．点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$から直線$\mathrm{OP}_1$へ下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}_2$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{H}_3$とする．

(1)$\displaystyle R=\frac{1}{2 \sin \theta_1}$を満たす$\theta_1 \ (0^\circ<\theta_1<90^\circ)$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2=\sin \theta_2$，$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3=\cos \theta_3$を満たす$\theta_2,\ \theta_3 \ (0^\circ<\theta_2<90^\circ,\ 0^\circ<\theta_3<90^\circ)$を求めよ．
(3)等式$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2+\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3+\mathrm{H}_3 \mathrm{O}=R$を用いて，$\sin 18^\circ$の値を求めよ．
(4)$D$の面積を$S$とするとき，$S^2$の値を求めよ．

$xy$平面上に中心$(1,\ 0)$，半径$2$の円$C$がある．円$C$と$y$軸との交点のうち，$y$座標が負である点を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

中心を点$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正六角形$H_1$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$上に点$\mathrm{A}_2$を$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_2=15^\circ$を満たすようにとり，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$上に点$\mathrm{B}_2$を$\angle \mathrm{B}_1 \mathrm{OB}_2=15^\circ$を満たすようにとる．同様に，図のように辺$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_1 \mathrm{E}_1$，$\mathrm{E}_1 \mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_1 \mathrm{A}_1$上にそれぞれ点$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{E}_2$，$\mathrm{F}_2$をとり，点$\mathrm{A}_2$から点$\mathrm{F}_2$を頂点とする正六角形を$H_2$とおく． \\
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．

半径$1$の円と長さ$2$の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする．この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く．すなわち，中心が点$(0,\ 1)$，$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く．次に，$x$軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している．$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 0)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)下図のような点$\mathrm{O}$を中心とする円において，弦$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{A}$における接線$\ell$とのなす角$\angle \mathrm{BAT}$は，その角内にある弧$\mathrm{AB}$に対する円周角$\angle \mathrm{APB}$に等しいことを証明せよ．ただし，$\angle \mathrm{BAT}$は鋭角とする．
（図は省略）