$2$つの円
\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1:x^2+y^2=5, \\
C_2:x^2+y^2-8x+6y=0
\end{array} \right. \]
について，次の設問に答えよ．

(1)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点を通る直線の$y$切片を求めよ．
(2)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点と$C_2$の中心$\mathrm{O}_2$を通る円$C_3$の方程式を求めよ．

$a$を正の定数とする．次の方程式で表される円$C_1$と放物線$C_2$がある．
\[ C_1:(x-2a)^2+y^2=a^2,\quad C_2:y=\frac{2}{5a^2}x^2+1 \]
$C_1$の中心を$\mathrm{P}$，$C_2$の頂点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2=a^2-1$を満たす点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_3$を表す方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$が共有点をもつとき，$C_2$と$C_3$は共有点をもたないことを示せ．

平面上で$2$つの円$S,\ S^\prime$が点$\mathrm{P}$で内接している．ただし$S^\prime$が$S$より小さいとする．円$S,\ S^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とおく．円$S^\prime$上にあって直線$\mathrm{PO}^\prime$上にはない点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$と円$S$との$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{A}$，直線$\mathrm{AO}$と円$S$との$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{BO}^\prime$と円$S$との$\mathrm{B}$とは異なる交点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{CQ}$と円$S$との$\mathrm{C}$とは異なる交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の半円$C:x^2+y^2=1 \ (y>0)$上の点を$\mathrm{P}$とする．$a>1$に対して$x$軸上の定点を$\mathrm{A}(a,\ 0)$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$，$\mathrm{OR}=r$とするとき，直線$\mathrm{AQ}$の方程式を$a,\ \theta,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$のえがく曲線の方程式を求めよ．
(3)(2)で得られた曲線の$a=\sqrt{2}$であるときの概形をかけ．

座標平面上に，直線$\displaystyle y=\frac{4}{3}x$と$y$軸の両方に接する円$C$がある．その円$C$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし，$a>0$かつ$b<0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく．このとき，$t$を$a$を用いて表せ．また，$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ．

$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$において辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_1 \mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$とする．次に，$\triangle \mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$において辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_3$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$とする．これをくり返して，$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$において辺$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{O}_n$，$\mathrm{O}_n \mathrm{A}_n$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_{n+1}$，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{B}_1}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり，かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について，点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の円$x^2+y^2-10x-10y+49=0$を$C$とする．原点$\mathrm{O}$を通り，円$C$に接する直線のうち，傾きの大きい方を$\ell$とする．

(1)$\ell$の傾きを求めよ．
(2)$x$軸に接し，円$C$と外接するような円の中心$\mathrm{P}$の描く軌跡を求めよ．
(3)直線$\ell$と$x$軸に接し，さらに円$C$と外接する円の半径をすべて求めよ．

$R,\ r$を正の実数とし，$2r<R \leqq 3r$とする．右図のように，原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xyz$空間に点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 5)$がある．次の問いに答えよ．

(1)球面$x^2+y^2+(z-2)^2=9$と平面$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$上に点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{2},\ s,\ t \right)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,\ Y,\ 0)$とする．$X,\ Y$それぞれを$s,\ t$の式で表せ．
(3)$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^\prime$とする．$C^\prime$の長さ$L$を求めよ．