放物線$C:y=x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{3}{4} \right)$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とする．

(1)$C$と$L$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$で$L$に接し，同時に$x$軸の正の部分に接する円を$K$とする．$K$の中心の座標を求めよ．

図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球面上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}$，四角形$\mathrm{BEFC}$，四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．

$xy$平面において，$x$軸の正の部分に中心$\mathrm{A}$をもつ半径$1$の円$C$が，直線$\displaystyle y=x \tan t (0<t<\frac{\pi}{2})$に点$\mathrm{P}$で接している．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めなさい．
(2)$x$軸の正の部分と円$C$と直線$y=x \tan t$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転した立体の体積$V(t)$を求めなさい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}tV(t)$を求めなさい．

$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$C$の内側を半径$1$の円$C^\prime$が内接しながら滑ることなく転がるとき，円$C^\prime$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を$X$とする．ただし，点$\mathrm{P}$のはじめの位置は点$\mathrm{P}_0(4,\ 0)$とする．円$C^\prime$の中心$\mathrm{O}^\prime$が原点$\mathrm{O}$の周りを$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．

以下の問いに答えなさい．

下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(10,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(10,\ 5 \sqrt{3},\ 15)$，$\mathrm{C}(8,\ -\sqrt{3},\ -3)$，$\mathrm{D}(8,\ 5 \sqrt{3},\ 15)$，$\mathrm{E}(-4,\ \sqrt{3},\ 3)$をとる．$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell_1$，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell_3$，$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$を通る直線を$\ell_4$とする．$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_3$の交点を$\mathrm{F}$，$2$つの直線$\ell_2$，$\ell_3$の交点を$\mathrm{G}$，$2$つの直線$\ell_2$，$\ell_4$の交点を$\mathrm{H}$，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_4$の交点を$\mathrm{I}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$6$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一平面上にあることを示せ．
(2)$4$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$の座標を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{FGHI}$の面積を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{FGHI}$に外接する円の中心座標と半径を求めよ．

$xy$平面内で，$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が$2$つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \]
とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

半径1の円を底面とする高さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を1つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45^\circ$の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t \ (0 \leqq t \leqq 1)$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．
(2)$V$の体積を求めよ．

座標平面上で，直線$y=x$に関する対称移動を$f$とし，実数$c$に対して，直線$y=cx$に関する対称移動を$g$とする．また，原点を中心とする$120^\circ$の回転移動を$h$とする．

(1)$f$を表す行列，および$h$を表す行列を求めよ．
(2)$g$を表す行列を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$が$h$になるように$c$の値を定めよ．