空間内にある半径$1$の球（内部を含む）を$B$とする．直線$\ell$と$B$が交わっており，その交わりは長さ$\sqrt{3}$の線分である．

(1)$B$の中心と$\ell$との距離を求めよ．
(2)$\ell$のまわりに$B$を$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0)$をとる．ただし$a>1$とする．$\mathrm{P}$から$C$へ引いた$2$本の接線の接点を結ぶ直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$が$C$上にあるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$が$\mathrm{R}$によらず一定であることを示し，その値を$a$を用いて表せ．
(3)$C$上の点$\mathrm{R}$が$\angle \mathrm{PRQ}=90^\circ$をみたすとする．このような$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．

$a,\ b$を正の実数とし，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b)$をとる．三角形$\mathrm{OAB}$を，原点$\mathrm{O}$を中心に$90^\circ$回転するとき，三角形$\mathrm{OAB}$が通過してできる図形を$D$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(3)$a+b=1$のとき，$(2)$で求めた$V$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{H}^\prime$とする．$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{PH}$の長さ，および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$を線分$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角二等辺三角形とし，その外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．正の実数$p$に対して，$\mathrm{BC}$を$(p+1):p$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{X}$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p$を用いて表せ．

点$\mathrm{P}(t,\ s)$が$s=\sqrt{2}t^2-2t$を満たしながら$xy$平面上を動くときに，点$\mathrm{P}$を原点を中心として$45^\circ$回転した点$\mathrm{Q}$の軌跡として得られる曲線を$C$とする．さらに，曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$y=a$と曲線$C$がただ$1$つの共有点を持つような定数$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個（$n \geqq 3$）の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり，次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $T_i$は$S_1$，$S_2$にそれぞれ$1$点で接している（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
\mon[（イ）] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$），そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし，$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき，極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ．

座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

平面上の原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とし，点$\mathrm{A}(2,\ 0)$をとる．また，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$に対して$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{APO}=\phi$，$\mathrm{AP}=z$とおく．ただし，$0<\theta<\pi$とする．下の問いに答えなさい．

(1)正弦定理を用いて$z$を$\theta$と$\phi$で表しなさい．
(2)余弦定理を用いて$z^2$を$\theta$で表しなさい．
(3)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$を$\phi$で表しなさい．
(4)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$の最大値，およびその最大値を与える$\theta$の値を求めなさい．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-6,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -8)$，$\mathrm{C}(15,\ 28)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．
(6)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．