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私立 早稲田大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．
私立 東北医科薬科大学 2015年 第2問$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．
私立 金沢工業大学 2015年 第3問座標平面において，極方程式$r=2 \cos \theta$で表される曲線を$C$とし，$C$上において極座標が$\displaystyle \left(\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4} \right)$，$(2,\ 0)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\mathrm{A}$を中心とし，線分$\mathrm{AB}$を半径にもつ円を$D$とする．
(1)曲線$C$は直交座標において点$([ア],\ [イ])$を中心とし，半径が$[ウ]$の円を表す．
(2)直線$\ell$の極方程式は$\displaystyle r \cos \left( \theta-\displaystyle\frac{\pi}{[エ]} \right)=\sqrt{[オ]}$である．
(3)円$D$の極方程式は$\displaystyle r=[カ] \sqrt{[キ]} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{[ク]} \right)$である．
(1)曲線$C$は直交座標において点$([ア],\ [イ])$を中心とし，半径が$[ウ]$の円を表す．
(2)直線$\ell$の極方程式は$\displaystyle r \cos \left( \theta-\displaystyle\frac{\pi}{[エ]} \right)=\sqrt{[オ]}$である．
(3)円$D$の極方程式は$\displaystyle r=[カ] \sqrt{[キ]} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{[ク]} \right)$である．
私立 星薬科大学 2015年 第2問原点，点$(2,\ 2)$および点$(1,\ \sqrt{3})$を通る円がある．次の問に答えよ．
(1)この円の中心の座標は$([$10$],\ [$11$])$，半径は$[$12$]$である．
(2)点$\mathrm{A}(5,\ 1)$を通り円に接する$2$本の接線を考え，それぞれの接点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とすると，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[$13$] \sqrt{[$14$]}}{[$15$]}$である．
(1)この円の中心の座標は$([$10$],\ [$11$])$，半径は$[$12$]$である．
(2)点$\mathrm{A}(5,\ 1)$を通り円に接する$2$本の接線を考え，それぞれの接点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とすると，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[$13$] \sqrt{[$14$]}}{[$15$]}$である．
私立 東北工業大学 2015年 第2問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円と，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円がある．$2$つの円が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっており，$\mathrm{OP}=\sqrt{3}+1$であるとする．また，四角形$\mathrm{AOBP}$の面積を$S$とする．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{OAP}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{[サ][シ]}$である．
(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOP}=\frac{\sqrt{[ス][セ]}}{2}$であり，$\mathrm{AB}=[ソ][タ] \sqrt{3}$である．
(3)四角形$\mathrm{AOBP}$の面積は$S=[チ][ツ]+\sqrt{3}$である．
(4)$2$つの円が重なり合った部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{6} \pi-S$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{OAP}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{[サ][シ]}$である．
(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOP}=\frac{\sqrt{[ス][セ]}}{2}$であり，$\mathrm{AB}=[ソ][タ] \sqrt{3}$である．
(3)四角形$\mathrm{AOBP}$の面積は$S=[チ][ツ]+\sqrt{3}$である．
(4)$2$つの円が重なり合った部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{6} \pi-S$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．
私立 埼玉工業大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまるものを入れよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．
私立 東京女子大学 2015年 第6問座標平面において，原点$(0,\ 0)$を中心とする円に内接する正三角形で，点$(3,\ 4)$を頂点の$1$つとするものを考える．この三角形の他の$2$つの頂点の座標を求めよ．
私立 名城大学 2015年 第1問次の問について，答えを$[ ]$内に記入せよ．
(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき，$\sqrt{3}x+y$の最小値は$[ア]$であり，$x^2+2xy+3y^2$の最大値は$[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 16)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$がある．$a>0$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるとき，$a=[ウ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[エ]$である．
(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき，$\sqrt{3}x+y$の最小値は$[ア]$であり，$x^2+2xy+3y^2$の最大値は$[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 16)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$がある．$a>0$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるとき，$a=[ウ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[エ]$である．
私立 名城大学 2015年 第3問放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$上の点$\mathrm{P}(2,\ \sqrt{3})$における接線を$\ell$とする．第$1$象限に中心をもつ円$O$が$x$軸に接し，かつ点$\mathrm{P}$で直線$\ell$に接するとき，次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell$に直交する直線の方程式を求めよ．
(2)円$O$の中心の座標と半径を求めよ．
(3)円$O$の外部において，放物線$C$，円$O$および$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell$に直交する直線の方程式を求めよ．
(2)円$O$の中心の座標と半径を求めよ．
(3)円$O$の外部において，放物線$C$，円$O$および$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 東邦大学 2015年 第13問$\mathrm{O}$を原点とする空間において，$3$点$\mathrm{P}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{R}(2,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．また，平面$\alpha$上に，点$\mathrm{P}$を中心とし，線分$\mathrm{PR}$を半径とする円$C$がある．このとき，原点$\mathrm{O}$と平面$\alpha$との距離は$[サ]$であり，原点$\mathrm{O}$と円$C$の周上の点との距離の最大値は$[シ] \sqrt{[ス]}$である．