座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．

直交座標の原点$\mathrm{O}$を極とし，$x$軸の正の部分を始線とする極座標$(r,\ \theta)$を考える．この極座標で表された$3$点を$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{\pi}{3} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{2 \pi}{3} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 3,\ \frac{4 \pi}{3} \right)$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の直交座標を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心と半径を求めよ．ただし，中心は直交座標で表せ．

点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．

側面の展開図が，半径$10$，中心角$x$の扇形である円錐を作る．この円錐の体積の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$0^\circ<x<{360}^\circ$とする．

$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}2=0.3010$とする．$2^{2015}$の桁数を求めよ．
(2)座標空間において，点$(a,\ 0,\ -1)$を中心とする半径$3$の球面が，$yz$平面と交わってできる円の半径が$2$のとき，$a$の値を求めよ．
(3)$y=-3x^3+9x-1$の極小値を求めよ．
(4)$\displaystyle y=2 \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$のグラフをかけ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．

原点を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$の上に，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$をとる．線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る直線が円$\mathrm{O}$と交わる$2$点のうち，$\mathrm{N}$に近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{NQ}$の長さを求めよ．