次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=[ア]-\sqrt{[イ]}$

(2)赤玉$3$個，青玉$3$個，白玉$2$個がある．$1$列に並べる並べ方は$[ウ][エ][オ]$通りある．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{A}=75^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BAD}=30^\circ$になるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{[カ]}+[キ]$であり，$\mathrm{AD}=[ク] \sqrt{[ケ]}-\sqrt{[コ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_1^x (x-t)f(t) \, dt=x^4-2x^2+1$を満たす関数は，$f(x)=[サ][シ]x^2-[ス]$である．

次の各問に答えよ．

(1)多項式$f(x)$と$g(x)$の間に

$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^1 g(t) \, dt$
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$

という関係が成り立つとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$を微分せよ．
(3)$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．$1$が書かれたカードと$2$が書かれたカードの間に他のカードが$1$枚ある並べ方は何通りあるか．

1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$M$とし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$N$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．

次の$[　]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

以下の問いに答えなさい．

(1)赤，白，黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり，一列に並べるものとする．合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい．なお，同じ色の玉は区別しないものとする．
(2)(1)の並べ方のうちで，先頭の$3$個の玉が同じ色であるか，末尾の$3$個の玉が同じ色であるか，少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい．
(3)空間において座標$(x,\ y,\ z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,\ y,\ z)$，$(x,\ y+1,\ z)$，$(x,\ y,\ z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる．最初に$(0,\ 0,\ 0)$にある点$\mathrm{P}$を，$9$回の操作で$(3,\ 3,\ 3)$に移動させる選び方のうち，$(3,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 3,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 3)$，$(3,\ 3,\ 0)$，$(3,\ 0,\ 3)$，$(0,\ 3,\ 3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい．

$\mathrm{G},\ \mathrm{O},\ \mathrm{U},\ \mathrm{K},\ \mathrm{A},\ \mathrm{K},\ \mathrm{U}$の$7$文字を$1$列に並べるとき，同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りあるか．

$a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ d,\ e$の7個の文字すべてを1列に並べるとき，次の問いに答えよ．

(1)並べ方は全部で何通りあるか．
(2)2つの$a$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(3)2つの$a$が隣り合わず，かつ2つの$b$も隣り合わない並べ方は何通りあるか．

$1$から$6$までの番号を$1$つずつ書いた$6$枚のカードがある．この$6$枚のカードを並べてできる$6$桁の自然数について次の問いに答えよ．

(1)番号$1$または番号$6$のカードがいずれも端になく，この$2$枚のカードが隣り合う並べ方は$[　]$通りある．
(2)$6$桁の自然数を小さい順に並べたとき，$315$番目の$6$桁の自然数は$[　]$である．

赤玉$n$個，白玉$n$個，合計$2n$個（$n \geqq 2$）の玉を無作為に左から$1$列に並べるとき，得点$X$を次のように定める．

(i) 赤玉が連続している部分が$m$ヶ所（$m \geqq 1$）あり，そこに含まれる赤玉の総数が$l$であるとき，$X=l-m+1$とする．
(ii) 赤玉が連続している部分がないときは，$X=1$とする．

たとえば，$n=5$のとき，赤赤白赤赤白赤白白白ならば，$X=4-2+1=3$である．

(1)$n=6$のとき，並べ方は全部で何通りあるか求めよ．また，このとき$X=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$となる並べ方はそれぞれ何通りあるか求め，$X$の期待値$E(X)$を求めよ．
(2)$n=k (k \geqq 7)$のとき，$X=3,\ 4$となる並べ方の総数をそれぞれ$k$を用いて表せ．