タグ「両者」の検索結果

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明治大学 私立 明治大学 2016年 第2問
次の$[ ]$に適する数を入れよ.

(1)${48}^{30}$は$[ア][イ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
(2)放物線$y=x^2-7x+6$と直線$y=x-1$は$2$点$([ウ],\ [エ])$,$([オ],\ [カ])$(ただし,$[ウ]<[オ]$)で交わり,両者によって囲まれる部分の面積は$[キ][ク]$である.
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が,あるゲームで対戦している.$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の強さは互角で,$1$回の対戦で勝つ確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である.引き分けは,ないものとする.

(i) $5$回目の対戦が終わったところで,$\mathrm{A}$が$3$勝,$\mathrm{B}$が$2$勝している確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である.
(ii) $\mathrm{B}$が先に$3$勝する前に$\mathrm{A}$が先に$2$勝する確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である.
北里大学 私立 北里大学 2014年 第3問
次の文中の$[ア]$~$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし,曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える.接点の$x$座標を$\alpha$とすると,接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$,接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから,接線の方程式は,
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される.この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす.この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し,傾きが正である接線の方程式は,
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される.
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は,両者が$x=\alpha$で接しているので,
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける.これを用いると,曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は,
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である.$p$を変化させるとき,$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる.
東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2014年 第5問
$k$を正の定数として,放物線$C:y=x^2$と直線$\ell_n:y=a_nx+ka_n-{a_n}^2$を考える.$C$と$\ell_n$の共有点の個数を$a_{n+1}$として数列$\{a_n\}$を定める.ただし,以下では常に$a_1=0$とする.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.

(1)$k=1$のとき,$a_2=[と]$,$a_3=[な]$である.
(2)$k=1$のとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である.また,$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき,両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である.
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき,$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である.
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項($N$も含める)がすべて$2$になるとき,そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり,そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である.
三重県立看護大学 公立 三重県立看護大学 2014年 第4問
曲線$①$は点$(-2,\ 0)$,曲線$②$は点$(0,\ -2)$を通り,両者は原点および$(-1,\ -1)$で交わる.このとき,次の$(1)$および$(2)$の設問に答えなさい.

$y=ax^2+bx+c \cdots\cdots①$
$x=dy^2+ey+f \cdots\cdots②$


(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$にあてはまる係数を求めなさい.
(2)曲線$①$および$②$を図示し,両曲線によって囲まれた部分の面積を求めなさい.
東京大学 国立 東京大学 2013年 第3問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がいる.投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり,最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている.次の操作を繰り返す.

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す.
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す.

そして$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で,$2$点を獲得した方の勝利とする.たとえば,コインが表,裏,表,表と出た場合,この時点では$\mathrm{A}$は$1$点,$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる.

(1)$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p(n)$を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2013年 第4問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がいる.投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり,最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている.次の操作を繰り返す.

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す.
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す.

そして$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で,$2$点を獲得した方の勝利とする.たとえば,コインが表,裏,表,表と出た場合,この時点では$\mathrm{A}$は$1$点,$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる. \\
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ.
法政大学 私立 法政大学 2012年 第1問
Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を,Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち,札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である.両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き,表にして数字を比べる.ただし,$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで,両者の数字が等しいときは引き分けとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$n=1$とする.

(2)引き分けとなる確率を求めよ.
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり,その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき,Aの得点の期待値を求めよ.

(4)$n=2$とする.Aの札の数字の合計と,Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ.
(5)$n=1$とする.数直線上にある点Pを,Aが勝ったときは正の方向に2だけ,Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす.ただし,引き分けのときは動かさない.こうした試行を4回繰り返すとき,最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ.なお,AとBが引いた札は,試行が終わるごとに各々の手元に戻し,よくかき混ぜて次の試行を行うものとする.
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