「両端」について
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私立 自治医科大学 2016年 第18問$7$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を使用してできる全ての$4$桁の整数の個数を$N$，その$4$桁の整数のうち，両端が奇数であるものの個数を$M$とする．$\displaystyle \frac{N}{M}$の値を求めよ．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
私立 広島工業大学 2016年 第3問大小$2$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ b)$について，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$-1$となる確率を求めよ．
(2)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが整数となる確率を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$（両端を含まない）と直線$y=-x+3$がただ$1$点で交わる確率を求めよ．
(1)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$-1$となる確率を求めよ．
(2)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが整数となる確率を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$（両端を含まない）と直線$y=-x+3$がただ$1$点で交わる確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第2問座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
私立 広島経済大学 2016年 第2問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて$1$列に並ぶとき，
(i) 両端が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．
(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて等間隔に輪の形に並ぶとき，
(i) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が正面に向かい合う確率は$\displaystyle \frac{[$18$]}{[$19$]}$である．
(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$20$]}{[$21$]}$である．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて$1$列に並ぶとき，
(i) 両端が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．
(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて等間隔に輪の形に並ぶとき，
(i) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が正面に向かい合う確率は$\displaystyle \frac{[$18$]}{[$19$]}$である．
(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$20$]}{[$21$]}$である．
公立 尾道市立大学 2016年 第3問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の数字が書いてある$7$個の石がある．このとき次の問いに答えなさい．
(1)これらの石から$3$個の石を選んで並べて，$3$桁の整数を作るとき$5$の倍数は何個あるか答えなさい．
(2)$7$個の石を円周上に並べるとき，$0$の両端に$1,\ 2$が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
(3)$7$個の石を$1$列に並べるとき，$0,\ 1,\ 2$がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．
(1)これらの石から$3$個の石を選んで並べて，$3$桁の整数を作るとき$5$の倍数は何個あるか答えなさい．
(2)$7$個の石を円周上に並べるとき，$0$の両端に$1,\ 2$が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
(3)$7$個の石を$1$列に並べるとき，$0,\ 1,\ 2$がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．
私立 西南学院大学 2015年 第3問以下の問に答えよ．
(1)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$を原点のまわりに正の向きに$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転した直線の方程式は$y=[チ]x$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 5)$，$\mathrm{B}(3,\ 2)$に対して，直線$y=mx-2m-1$が線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）と共有点をもつような定数$m$の範囲は，$m \leqq [ツテ]$，$m \geqq [ト]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}(2,\ 1)$，$\mathrm{D}(5,\ 4)$に対して，$\mathrm{CP}:\mathrm{DP}=1:2$となるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式は，$\displaystyle \left( x-[ナ] \right)^2+\left( y-[ニ] \right)^2=[ヌ]$である．
(1)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$を原点のまわりに正の向きに$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転した直線の方程式は$y=[チ]x$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 5)$，$\mathrm{B}(3,\ 2)$に対して，直線$y=mx-2m-1$が線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）と共有点をもつような定数$m$の範囲は，$m \leqq [ツテ]$，$m \geqq [ト]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}(2,\ 1)$，$\mathrm{D}(5,\ 4)$に対して，$\mathrm{CP}:\mathrm{DP}=1:2$となるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式は，$\displaystyle \left( x-[ナ] \right)^2+\left( y-[ニ] \right)^2=[ヌ]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$0<\theta _n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{\theta_n\}$を用いて，閉区間$[0,\ 1]$から始めて，以下のようにしていくつかの閉区間を残す操作を繰り返す．ただし，$a<b$とするとき，開区間$(a,\ b)$の長さは閉区間$[a,\ b]$の長さと等しく$b-a$である．
$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．
\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．
このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．
$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．
\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．
このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 3)$を直径の両端とする円がある．図のようにこの円と$x$軸との原点以外の交点を$\mathrm{B}$，線分$\mathrm{OA}$に関して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$を満たす点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CA}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
私立 学習院大学 2014年 第1問平面上に$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．$4$つのサイコロ$\mathrm{S}_\mathrm{A}$，$\mathrm{S}_\mathrm{B}$，$\mathrm{S}_\mathrm{C}$，$\mathrm{S}_\mathrm{D}$を同時に投げて，出た目を，それぞれのサイコロに対応する点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に割り当てる．下の$3$つの図のそれぞれについて，次の（条件）が成り立つ確率を求めよ．
（図は省略）
（条件）図のどの線分についても，線分の両端の点には相異なる数が割り当てられている．
（図は省略）
（条件）図のどの線分についても，線分の両端の点には相異なる数が割り当てられている．