「両方」について
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私立 成城大学 2012年 第3問座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{6},\ 2,\ -\sqrt{6})$，$\mathrm{B}(-\sqrt{2},\ 2 \sqrt{3},\ \sqrt{2})$がある．原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．
私立 成城大学 2012年 第1問あるタカは$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点のどちらか一方に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で最初に現れる．どちらの地点でも，餌を得ると直ちに巣に帰るが，餌が得られないともう一方の地点に現れてから巣に帰る．タカが各地点に現れたとき，餌を得る確率はどちらの地点でも$\displaystyle \frac{3}{5}$であり，一度巣に帰ると再び両地点に現れることはないとして，以下の問いに答えよ．
(1)このタカが$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点の両方に現れる確率はいくらか．
(2)このタカが$\mathrm{A}$地点に現れる確率はいくらか．
(3)このタカがどちらかの地点で餌を得る確率はいくらか．
(1)このタカが$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点の両方に現れる確率はいくらか．
(2)このタカが$\mathrm{A}$地点に現れる確率はいくらか．
(3)このタカがどちらかの地点で餌を得る確率はいくらか．
国立 大阪大学 2011年 第3問$a,\ b,\ c$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり，$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (*) \qquad (\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
\[ (*) \qquad (\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第2問下図において，北隅のAの文字から南隅のAの文字まで，南東または南西に文字をたどって最短で進むとき，経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 鳥取大学 2011年 第4問下図において，北隅のAの文字から南隅のAの文字まで，南東または南西に文字をたどって最短で進むとき，経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
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（図は省略）
国立 山梨大学 2011年 第3問放物線$y=x^2+2x$を$C_1$，放物線$y=x^2-2x+2$を$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$を$y=(x-p)^2+q$の形に変形せよ．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$を$y=(x-p)^2+q$の形に変形せよ．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第2問実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．
条件1： 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される．
条件2： 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される．
以下の問いに答えよ．
(i) 条件1がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ii) 条件1，条件2の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする．自然数$n$に対して，点R$_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする．
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする．
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき，$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．
条件1： 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される．
条件2： 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される．
以下の問いに答えよ．
(i) 条件1がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ii) 条件1，条件2の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする．自然数$n$に対して，点R$_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする．
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする．
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき，$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
国立 長岡技術科学大学 2011年 第4問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$種類のカードがある．$\mathrm{A}$を$2$枚，$\mathrm{B}$を$3$枚それぞれ積み重ね，$3$人の人が順番に$1$枚のカードを次のように持ち帰ることにする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$両方のカードが残っているときは$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かを確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で選んで$1$枚持ち帰る．また，どちらか一方のカードしか残っていないときはそれを$1$枚持ち帰る．このようにすると最後に$2$枚のカードが残る．これについて次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残ったとき，$1$番目の人が$\mathrm{B}$のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．
(1)$\mathrm{A}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残ったとき，$1$番目の人が$\mathrm{B}$のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．
国立 山梨大学 2011年 第2問実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$①$と$②$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする．
$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．
(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．
$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．
(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．
私立 金沢工業大学 2011年 第2問放物線$y=x^2-4x-6$を$C_1$とし，$C_1$を$x,\ y$軸方向にそれぞれ$3,\ -9$だけ平行移動して得られる放物線を$C_2$とする．
(1)放物線$C_2$の方程式は$y=x^2-[サシ]x+[ス]$である．
(2)放物線$C_2$の頂点の座標は$([セ],\ [ソタチ])$である．
(3)放物線$C_1$と$C_2$の両方の頂点を通る直線の方程式は
\[ y=[ツテ]x-[ト] \]
である．
(1)放物線$C_2$の方程式は$y=x^2-[サシ]x+[ス]$である．
(2)放物線$C_2$の頂点の座標は$([セ],\ [ソタチ])$である．
(3)放物線$C_1$と$C_2$の両方の頂点を通る直線の方程式は
\[ y=[ツテ]x-[ト] \]
である．