次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．

座標平面上に，直線$\displaystyle y=\frac{4}{3}x$と$y$軸の両方に接する円$C$がある．その円$C$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし，$a>0$かつ$b<0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく．このとき，$t$を$a$を用いて表せ．また，$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．

放物線$y=x^2$を$C_1$，$C_1$と異なる放物線$y=ax^2+bx+c \ (a \neq 0)$を$C_2$とする．

(1)$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は最大でも$1$本しか存在しないことを示せ．
(2)$a=1$のとき，条件$b \neq 0$は条件

$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$1$本だけ存在する

の必要十分条件であることを示せ．
(3)条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次で定める．
\[ \begin{array}{ll}
p_1:C_2 \text{は下に凸である．} & p_2:C_2 \text{は上に凸である．} \\
q_1:C_1 \text{と} C_2 \text{が異なる}2 \text{点で交わる．} & q_2:C_1 \text{と} C_2 \text{が交わらない．}
\end{array} \]
$a \neq 1$のとき，条件

$p:$「$p_1$かつ$q_1$」または「$p_2$かつ$q_2$」

は条件

$q:C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在する

の必要十分条件であることを示せ．

曲線$C_1:y=-x^2+2x-3$と曲線$C_2:y=-x^2+8x-21$の両方に接する直線を$L$とする．曲線$C_1$と曲線$C_2$と直線$L$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$4S$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．

$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向

と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．

(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）

下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．

$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向

と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．

(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）

$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=x^2 \\
C_2:y=x^2-4x+8
\end{array} \]
がある．また，直線$\ell$が$C_1$と$C_2$の両方に接している．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

$xy$平面上に$2$つの円$C_1:x^2+(y-3)^2=4$，$C_2:(x-4)^2+y^2=9$がある．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[　]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[][]},\ -\frac{[　]}{[][]} \right)$である．