次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．

空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．

空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．

$xy$平面において，点$(-2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．直線$y=ax+b$を$\ell$とし，この直線$\ell$は，円$C_1$と円$C_2$の両方と共有点をもつものとする．

(1)$b=0$のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$b=0$で$a$が求めた範囲を動くとき，直線$\ell$の通る領域を図示せよ．
(2)$a \geqq 0$のとき，$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，この条件を満たす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\left( x-\frac{1}{2} \right)^2-\frac{1}{2}$，$\displaystyle C_2:y=\left( x-\frac{5}{2} \right)^2-\frac{5}{2}$の両方に接する直線を$\ell$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

円$x^2+y^2=1$を$C_1$とし，点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を通り，傾きが$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m>1$である．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{Q}$における円$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$および(1)の点$\mathrm{Q}$の$3$点を通る円を$C_2$とする．$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$m=\sqrt{3}$のとき，円$C_1$と(2)の円$C_2$の両方に接する直線の方程式を求めよ．

座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上の点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{DE}$上の点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DE}}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とし，$0<\alpha<1$，$0<\beta<1$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\alpha$，$\beta$によって表し，次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)式$(a+b)^6$を展開したときの$a^3b^3$の項の係数を求めよ．
(2)$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．

(i) $1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii) $1$個の引き出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．

(3)(2)$ \ (ⅱ)$における書類の取り出し方の場合の数は，式
\[ (ab+a+b+1)^6 \]
を展開したときの$a^4b^2$の項の係数に等しくなる．その理由をのべよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}(-4,\ 8,\ 2)$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(3,\ 0,\ 1)$に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{B}(10,\ 3,\ -4)$を通りベクトル$\overrightarrow{v}=(-1,\ 3,\ 0)$に平行な直線を$m$とする．$\mathrm{P}$を$\ell$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．このとき，実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t \overrightarrow{v}$と表すことができる．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1,\ -1)$と$\overrightarrow{b}=(1,\ 2,\ 4)$について次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$が垂直となるように実数$t$の値を定めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．