「両方」について
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私立 京都産業大学 2016年 第3問$xy$平面上の$2$つの曲線
$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$
について以下の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．
(1)$s$を実数，$t$を正の数とする．$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式，および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する．それぞれの直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ．
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ．
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ．
$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$
について以下の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．
(1)$s$を実数，$t$を正の数とする．$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式，および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する．それぞれの直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ．
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ．
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 埼玉工業大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋から，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，赤玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ユ]}$である．また，白玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラリ]}$である．
(2)赤玉$4$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{A}$，赤玉$2$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{B}$それぞれ別の袋に入れ，おのおのの袋から$1$個の玉を取り出す．このとき，両方が赤玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ル]}$である．また，両方が白玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[レ]}$である．
(3)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋に，新たに青玉$3$個を加え，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，それらが同じ色である確率は，$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワン]}$である．
(1)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋から，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，赤玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ユ]}$である．また，白玉$2$個を取り出す確率は，$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラリ]}$である．
(2)赤玉$4$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{A}$，赤玉$2$個と白玉$2$個を袋$\mathrm{B}$それぞれ別の袋に入れ，おのおのの袋から$1$個の玉を取り出す．このとき，両方が赤玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[ル]}$である．また，両方が白玉である確率は，$\displaystyle \frac{1}{[レ]}$である．
(3)赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋に，新たに青玉$3$個を加え，同時に$2$個の玉を取り出す．このとき，それらが同じ色である確率は，$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワン]}$である．
私立 沖縄国際大学 2016年 第4問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
国立 大阪大学 2015年 第2問直線$\ell:y=kx+m (k>0)$が円$C_1:x^2+(y-1)^2=1$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2$の両方に接している．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$k$と$m$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$k$と$m$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 神戸大学 2015年 第3問$a,\ b,\ c$を$1$以上$7$以下の自然数とする．次の条件$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
国立 神戸大学 2015年 第5問$a,\ b,\ c$を$1$以上$7$以下の自然数とする．次の条件$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
国立 旭川医科大学 2015年 第1問$f(p,\ q,\ r)=p^3-q^3-27r^3-9pqr$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(p,\ q,\ r)$を因数分解せよ．
(2)等式$f(p,\ q,\ r)=0$と$p^2-10q-30r=11$との両方を満たす正の整数の組$(p,\ q,\ r)$をすべて求めよ．
(1)$f(p,\ q,\ r)$を因数分解せよ．
(2)等式$f(p,\ q,\ r)=0$と$p^2-10q-30r=11$との両方を満たす正の整数の組$(p,\ q,\ r)$をすべて求めよ．
国立 岡山大学 2015年 第1問$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が異なっている確率を$p_n$とする．不等式$p_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$の値を求めよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が異なっている確率を$p_n$とする．不等式$p_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$の値を求めよ．
国立 岡山大学 2015年 第1問$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が連続している確率（すなわち，$2$つの番号の差の絶対値が$1$である確率）を$n$の式で表せ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が連続している確率（すなわち，$2$つの番号の差の絶対値が$1$である確率）を$n$の式で表せ．
国立 東北大学 2015年 第6問$k \geqq 2$と$n$を自然数とする．$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき，すなわち，
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．
(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．
(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．