$4$の数字が書かれたカードが$1$枚，$3$の数字が書かれたカードが$1$枚，$2$の数字が書かれたカードが$2$枚，$1$の数字が書かれたカードが$2$枚，$0$の数字が書かれたカードが$4$枚ある．これら$10$枚のカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．

(1)左から$4$番目までの$4$枚のカードに書かれた数がすべて$0$となる確率を求めよ．
(2)右から$1$番目のカードに書かれた数の期待値を求めよ．
(3)左から$3$番目までの$3$枚のカードに書かれた$3$つの数について，次の条件$①,\ ②$を考える．

\mon[$①$] $3$つの数がすべて異なる．
\mon[$②$] $3$つの数の中で，左から$1$番目のカードに書かれた数$a$が最大である．

条件$①,\ ②$の両方が同時にみたされた場合の得点を$a$とし，それ以外の場合の得点を$0$とする．

(i) 得点が$4$となる確率を求めよ．
(ii) 得点の期待値を求めよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$と$x \leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(3)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(4)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(5)等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x+a) \cos 2x \, dx=\frac{\pi}{8}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．

$t$を実数とする．$2$つの放物線

$y=x^2+1 \qquad \cdots\cdots①$
$y=-(x-t)^2+t \qquad \cdots\cdots②$

の両方に接する$2$本の直線を$\ell_1,\ \ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$①$の接点を$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2+1)$，$\ell_2$と$①$の接点を$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2+1)$とする．次の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

自然数$a,\ b$に関する命題，

(i) $a,\ b$が両方とも奇数ならば$ab$は奇数である．
(ii) $ab$が奇数ならば$a^2+b^2$は偶数である．
(iii) $3a+2b$が奇数ならば，$a,\ b$は両方とも奇数である．

について，次の問に答えよ．

(1)これらの命題のうち，真であるものは$[　]$．
(2)これらの命題のうち，逆が真であるものは$[　]$．

放物線$y=x^2+1$を$C_1$，放物線$y=-x^2+6x-8$を$C_2$として次の問いに答えよ．

(1)点$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ [　] \right)$に関して，$C_1$と$C_2$は対称である．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する$2$つの接線のうち，$x$軸と交わらない方を$\ell_1$，$x$軸と交わる方を$\ell_2$とすると，$\ell_1$の方程式は$y=[　]$，$\ell_2$の方程式は$y=[　] x-[　]$である．
(3)$C_1$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

さいころを$2$つ同時に投げる試行について，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回の試行で両方とも偶数の目の出る確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返すとき，少なくとも$1$回は両方とも偶数の目の出る確率を求めよ．
(3)$1$回の試行で，$2$つのさいころの目が両方とも偶数ならば$4$点，それ以外ならば$2$点の得点がもらえるとする．試行を$3$回繰り返したときにもらえる総得点の期待値を求めよ．

$f(x)=2x^2-4x+3,\ g(x)=-x^2-2x-2$とする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点と放物線$y=g(x)$の頂点を通る直線とこれらの放物線との交点をすべて求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$の両方に接する2本の直線の交点を求めよ．