別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．製品を製造した後，検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに答えよ．

(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．

（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）

製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．