「不等式」について
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私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．
(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．
私立 学習院大学 2010年 第2問不等式
\[ \frac{1}{\log_27}+\frac{1}{\log_37}+\frac{1}{\log_m7}<4 \]
を満たす最大の自然数$m$を求めよ．
\[ \frac{1}{\log_27}+\frac{1}{\log_37}+\frac{1}{\log_m7}<4 \]
を満たす最大の自然数$m$を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第3問$x,\ y$の動く範囲を$0 \leqq x \leqq 2\pi$，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式
\[ \sin x+\sin y \geqq \cos x+\cos y \]
の表す領域を平面上に図示せよ．
\[ \sin x+\sin y \geqq \cos x+\cos y \]
の表す領域を平面上に図示せよ．
私立 北海道薬科大学 2010年 第2問次の各設問に答えよ．
(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[ ]$，$y=[ ]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[ ] n+[ ]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[ ]$である．
(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[ ]$，$y=[ ]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[ ] n+[ ]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[ ]$である．
私立 北海道科学大学 2010年 第3問連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
3x-5<1 \\
1-2x<7
\end{array} \right. \]
を解くと$[$*$]$である．また，$[$*$]$を解とする$2$次不等式は$[ ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
3x-5<1 \\
1-2x<7
\end{array} \right. \]
を解くと$[$*$]$である．また，$[$*$]$を解とする$2$次不等式は$[ ]$である．
私立 東北工業大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( 2^{\frac{3}{2}}-2^{-\frac{1}{2}} \right)^2=\frac{[ ]}{2}$
(2)方程式$3^{2x-5}=\sqrt[5]{9}$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ ]}{10}$である．
(3)方程式$\displaystyle \log_{16}(x+5)=\frac{3}{2}$の解は$x=[ ]$である．
(4)不等式$\log_{\frac{1}{2}} (x-3)>-3$の解は，$[ ]<x<[ ]$である．
(1)$\displaystyle \left( 2^{\frac{3}{2}}-2^{-\frac{1}{2}} \right)^2=\frac{[ ]}{2}$
(2)方程式$3^{2x-5}=\sqrt[5]{9}$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ ]}{10}$である．
(3)方程式$\displaystyle \log_{16}(x+5)=\frac{3}{2}$の解は$x=[ ]$である．
(4)不等式$\log_{\frac{1}{2}} (x-3)>-3$の解は，$[ ]<x<[ ]$である．
私立 東京電機大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．
私立 東京電機大学 2010年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．
私立 関西大学 2010年 第3問$a$は正の定数で，$a>1$とする．次の問いに答えよ．
(1)不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x-a \\
y \leqq x(a-x)
\end{array} \right. \]
を満たす領域$D$を図示せよ．
(2)$(1)$で定まる領域$D$内の点$(x,\ y)$について，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x-a \\
y \leqq x(a-x)
\end{array} \right. \]
を満たす領域$D$を図示せよ．
(2)$(1)$で定まる領域$D$内の点$(x,\ y)$について，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
私立 北海道医療大学 2010年 第3問$2$次不等式$x^2-11x+28<0$を満たす実数$x$の集合を$A$，$x^2-(a+2)x+2a<0$を満たす実数$x$の集合を$B$とする．ここで，$a$は定数で，$a>2$とする．また，$\phi$を空集合，実数全体の集合$U$を全体集合とし，$A,\ B$の補集合を$\overline{A},\ \overline{B}$とする．以下の問に答えよ．
(1)次の不等式を解け．
\mon[$①$] $x^2-11x+28<0$
\mon[$②$] $x^2-(a+2)x+2a<0$
(2)$A \cap B=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$A \cap B$が整数を$1$つだけ含むように$a$の値の範囲を定めよ．
(4)$\overline{A} \supset \overline{B}$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$\overline{B} \supset A$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次不等式$3x^2-9x+2>0$を満たす実数$x$の集合を$C$とし，その補集合を$\overline{C}$とする．
\mon[$(6$-$1)$] $B \cap C=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
\mon[$(6$-$2)$] $\overline{C}$の要素で，整数であるものをすべて求めよ．
(1)次の不等式を解け．
\mon[$①$] $x^2-11x+28<0$
\mon[$②$] $x^2-(a+2)x+2a<0$
(2)$A \cap B=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$A \cap B$が整数を$1$つだけ含むように$a$の値の範囲を定めよ．
(4)$\overline{A} \supset \overline{B}$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$\overline{B} \supset A$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次不等式$3x^2-9x+2>0$を満たす実数$x$の集合を$C$とし，その補集合を$\overline{C}$とする．
\mon[$(6$-$1)$] $B \cap C=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
\mon[$(6$-$2)$] $\overline{C}$の要素で，整数であるものをすべて求めよ．