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国立 大分大学 2010年 第1問$x,\ y$が不等式$|x-2|+|y-2| \leqq 2$を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
国立 大分大学 2010年 第4問$x,\ y$が不等式$|x-2|+|y-2| \leqq 2$を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
国立 鳥取大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots \maru{1},\ 2x+3y=24 \cdots \maru{2}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線\maru{1}と\maru{2}との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots \maru{1},\ 2x+3y=24 \cdots \maru{2}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線\maru{1}と\maru{2}との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第4問$a,\ k$は定数であり，$0<k<1$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．
(3)不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ．
(4)数列$\{x_n\}$を，$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ．
(1)方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．
(3)不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ．
(4)数列$\{x_n\}$を，$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ．
国立 山口大学 2010年 第2問次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．
国立 大阪教育大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx \]
とおく．次の問に答えよ．
(1)定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
\[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx \]
とおく．次の問に答えよ．
(1)定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
\[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]
国立 新潟大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第8問$n$を自然数とし，$\displaystyle f(x)=x^2e^{-\frac{2}{3}x^3}$とする．
(1)関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^n f(x) \, dx$を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\frac{3}{2}e^{-\frac{2}{3}}$を証明せよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^n f(x) \, dx$を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\frac{3}{2}e^{-\frac{2}{3}}$を証明せよ．
国立 九州工業大学 2010年 第4問次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．
(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．
(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．
国立 旭川医科大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]