「不等式」について
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私立 福岡大学 2011年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)等式$4x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4$が$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$の組を定めると，$(a,\ b)=[ ]$である．また，このとき$2$次方程式$4x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}$の値は$[ ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$2 \sin^2 x+5 \cos x+1=0$を解くと，$x=[ ]$である．また，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式$\cos 2y+\sin y \geqq 0$を満たす$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(3)$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時にとりだす．このとき，カードの数字の和が奇数となる確率は$[ ]$である．また，カードの数字の和が奇数のときは，その$3$つの数の最大の値を得点とし，カードの数字の和が偶数のときには一律に$5$点を得点とするゲームを考えると，このゲームの期待値は$[ ]$点である．
(1)等式$4x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4$が$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$の組を定めると，$(a,\ b)=[ ]$である．また，このとき$2$次方程式$4x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}$の値は$[ ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$2 \sin^2 x+5 \cos x+1=0$を解くと，$x=[ ]$である．また，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式$\cos 2y+\sin y \geqq 0$を満たす$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(3)$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時にとりだす．このとき，カードの数字の和が奇数となる確率は$[ ]$である．また，カードの数字の和が奇数のときは，その$3$つの数の最大の値を得点とし，カードの数字の和が偶数のときには一律に$5$点を得点とするゲームを考えると，このゲームの期待値は$[ ]$点である．
私立 愛知学院大学 2011年 第2問次の不等式を解きなさい．ただし$a \neq 1$，$a>0$とする．
\[ 2 \log_a (2x+1)>\log_a (2x+7)+\log_a x \]
\[ 2 \log_a (2x+1)>\log_a (2x+7)+\log_a x \]
私立 愛知学院大学 2011年 第2問不等式
\[ \log_2 (1-x)+\log_4 (x+2)<1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めなさい．
\[ \log_2 (1-x)+\log_4 (x+2)<1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めなさい．
公立 大阪市立大学 2011年 第3問$s,\ t$を実数とし，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{P}(0,\ t)$，$\mathrm{Q}(s,\ t)$を考える．次の問いに答えよ．
(1)不等式$\displaystyle \sqrt{(1+s)^2+t^2} \geqq \frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\mathrm{PA}+ \mathrm{PB} \leqq \mathrm{QA}+ \mathrm{QB}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$\displaystyle \sqrt{(1+s)^2+t^2} \geqq \frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\mathrm{PA}+ \mathrm{PB} \leqq \mathrm{QA}+ \mathrm{QB}$が成り立つことを示せ．
公立 高知工科大学 2011年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
公立 県立広島大学 2011年 第4問不等式
\[ \log_2 (2y-1)-1 \geqq \log_2 (1-x) \geqq \log_2 y - \log_2 x -2 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とする．
(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が$D$を動くとき，$z=xy$の最大値を求めよ．
\[ \log_2 (2y-1)-1 \geqq \log_2 (1-x) \geqq \log_2 y - \log_2 x -2 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とする．
(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が$D$を動くとき，$z=xy$の最大値を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$を2以上の自然数とするとき，不等式$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx< \log 1+\log 2+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ．
(2)$a$を正の実数とするとき，上の不等式を用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( 2+\displaystyle\frac{n}{n+1} \right)^n}{n!}$を求めよ．
(1)$n$を2以上の自然数とするとき，不等式$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx< \log 1+\log 2+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ．
(2)$a$を正の実数とするとき，上の不等式を用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( 2+\displaystyle\frac{n}{n+1} \right)^n}{n!}$を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2011年 第2問実数の数列$\{a_n\}_{n=1,\ 2,\ \cdots}$は，任意の正整数$p,\ q$に対して不等式
\[ |a_{p+q|-a_p-a_q}<1 \]
を満たしているとする．
(1)任意の正整数$n$と，$2$以上の任意の整数$k$に対して，不等式
\[ |a_{kn|-ka_n}<k-1 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)任意の正整数$n,\ k$に対して，不等式
\[ |n a_{n+k|-(n+k)a_n}<2n+k-2 \]
が成り立つことを証明せよ．
\[ |a_{p+q|-a_p-a_q}<1 \]
を満たしているとする．
(1)任意の正整数$n$と，$2$以上の任意の整数$k$に対して，不等式
\[ |a_{kn|-ka_n}<k-1 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)任意の正整数$n,\ k$に対して，不等式
\[ |n a_{n+k|-(n+k)a_n}<2n+k-2 \]
が成り立つことを証明せよ．
国立 東京大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2)$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]
(1)すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2)$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]
国立 大阪大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不等式
\[ (|x|-2)^2+(|y|-2)^2 \leqq 1 \]
の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)1個のさいころを4回投げ，$n$回目$(n = 1,\ 2,\ 3,\ 4)$に出た目の数を$a_n$とする．このとき
\[ (x,\ y) = (a_1-a_2,\ a_3-a_4) \]
が(1)の領域に含まれる確率を求めよ．
(1)不等式
\[ (|x|-2)^2+(|y|-2)^2 \leqq 1 \]
の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)1個のさいころを4回投げ，$n$回目$(n = 1,\ 2,\ 3,\ 4)$に出た目の数を$a_n$とする．このとき
\[ (x,\ y) = (a_1-a_2,\ a_3-a_4) \]
が(1)の領域に含まれる確率を求めよ．