$n$を自然数とする．

(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{2}{n} \right)^n \geqq 3 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)不等式
\[ (n+1)^{n-1}(n+2)^n \geqq 3^n(n!)^2 \]
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

$0 \leqq x<2\pi$であるとき，次の不等式を解け．

(1)$\sin x \leqq \cos x$
(2)$|\sin x| \leqq |\cos x|$
(3)$|\sin x| \leqq \cos x$

次の空欄を適当に補え．

(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．

$\displaystyle m>0,\ m \neq \frac{1}{2}$とする．不等式
\[ 2m \left( \frac{9}{4} \right)^{x^2-3x+2}-3 \left( \frac{3}{2} \right)^{x^2-3x+1}+2-2m<0 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$m=1$のとき，この不等式を解け．
(2)この不等式のすべての解$x$が不等式$1<x<2$を満たすような$m$の範囲を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)不等式$2x-5 \leqq -x+10$の解は$[$1$]$である．
(2)整式$f(x)$を$x+2$で割ると余りは$-3$，$x-3$で割ると余りは$1$，$x+4$で割ると余りは$2$である．このとき，整式$f(x)$を$(x+2)(x-3)$で割ると余りは$[$2$]$，$(x-3)(x+4)$で割ると余りは$[$3$]$である．
(3)$2$次不等式$\displaystyle x^2+3x-\frac{3}{4} \leqq 1$の解は$[$4$]$であり，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-\displaystyle \frac{3}{4} \leqq 1 \\
-x^2+4>0 \phantom{\displaystyle \Biggl( \frac{1}{2} \Biggr)}
\end{array} \right. \]
の解は$[$5$]$である．
(4)放物線$y=-x^2+2x+1$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ 1)$における接線を$\ell$とすると，直線$\ell$の方程式は$[$6$]$である．また，直線$\ell$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[$7$]$である．
(5)$16$本のくじの中に，当たりくじが$4$本ある．このくじを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がこの順に，$1$本ずつ$1$回だけ引き，引いたくじはもとに戻さないものとするとき，$\mathrm{A}$の当たる確率は$[$8$]$となり，$\mathrm{B}$の当たる確率は$[$9$]$となる．
(6)$x$についての不等式$\log_a(3x^2-x-2)>\log_a(x^2+5x-6)$の解は，$a>1$のとき$[$10$]$であり，$0<a<1$のとき$[$11$]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$2x^3-16$を因数分解しなさい．
(2)$\sqrt{7-\sqrt{48}}$の二重根号をはずして簡単にしなさい．
(3)不等式$x-4<-3x+2 \leqq x+6$を解きなさい．
(4)$2$次方程式$3x^2-6x+1=0$の実数解の個数を求めなさい．
(5)$\tan \theta=-3 (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(6)$6$人の生徒を$2$人ずつ$3$組に分ける分け方は何通りあるか求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$1$以上$200$以下の自然数の中で，$2$または$5$で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ 3(2x-3)^2-4(2x+1)+12 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-2|>3x \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき，次の式の値を求めなさい．


(i) $x^2-y^2$
(ii) $x^3+y^3$

(5)$7$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$から異なる$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，次の問いに答えなさい．

(i) $5$桁の整数は全部で何個できるか．その個数を求めなさい．
(ii) $(1)$で求めた$5$桁の整数のうち，奇数は何個できるか．その個数を求めなさい．

(6)$\displaystyle \left( 3x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の展開式における$x^4$の係数を求めなさい．

対数関数
\[ f(x)=\log_2 x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}} x \]
に対し，$3$つの不等式
\[ x \geqq 1,\quad y \leqq f(x),\quad y \geqq g(x) \]
によって定められる$xy$平面上の領域を$D$とする．また，$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x,\ y$がともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 8$であるもの」の総数を求めよ．
(3)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 33,\ y \geqq 1$であるもの」の総数を求めよ．

$c_0,\ \cdots,\ c_3$を係数とする$3$次関数$f(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$は，$4$つの条件
\[ f(0)=a,\quad f^\prime(0)=1,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=1 \]
を満たしている．ここで$a$および$b$は実数で$b \neq 3$であり，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$f(x)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$f(x)$に対し，$2$次関数$g(x)$と定積分$S$を
\[ g(x)=f(x)-c_3x^3,\quad S=\int_{-1}^1 g(x) \, dx \]
と定める．定積分$S$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$3$つの不等式
\[ a \geqq 0,\quad b \geqq 0,\quad a+b \leqq 1 \]
を満たすとき，$(2)$で定めた定積分$S$の最大値を求めよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)式$(x-2y+3z)^2$を展開したとき，$y^2$の係数は$[$1$]$であり，$yz$の係数は$[$2$]$である．
(2)下の図の斜線部分は$3$つの不等式$[$3$]$，$[$4$]$，$[$5$]$で表される．ただし，境界線は含まないものとする．
（図は省略）
(3)$2$つの複素数$2+\sqrt{3}i$，$2-\sqrt{3}i$を解とする$2$次方程式の$1$つは
\[ x^2-[$6$]x+[$7$]=0 \]
である．
(4)$108$を素因数分解すると，$2$の$[$8$]$乗と$3$の$[$9$]$乗の積として表すことができる．したがって，$108$の正の約数は全部で$[$10$]$個である．
(5)当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．引いたくじはもとに戻さないものとして，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき$3$人のうちで$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$2$人だけが当たる確率は$[$11$]$であり，$3$人のうちで$\mathrm{B}$か$\mathrm{C}$のどちらか$1$人だけが当たる確率は$[$12$]$である．
(6)$a_{n+1}-a_n=1$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$13$]$である．また，$a_{n+1}-a_n=n$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$14$]$である．
(7)式$\sqrt{7+2 \sqrt{10}}+\sqrt{13-4 \sqrt{10}}$を簡単にすると$[$15$]$，式$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}+\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$を簡単にすると$[$16$]$である．
(8)$2$次関数
\[ y=ax^2+2ax+b \quad (a<0) \]
の定義域を$|x| \leqq 2$，値域を$|y| \leqq 9$とする．このとき，$a=[$17$]$で，$b=[$18$]$である．