「不等式」について
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(55ページ目:全633問中541問~550問を表示)![室蘭工業大学](./img/univ/muroran.png)
正の整数$n$に対して,$\displaystyle S_n(x)=\int_0^x t^ne^{-t} \, dt$とおく.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1)$S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ.
(2)$m$を正の整数とする.$x>0$のとき,不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ.また,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ.
(3)数学的帰納法を用いて,すべての正の整数$n$に対して,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ.
(1)$S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ.
(2)$m$を正の整数とする.$x>0$のとき,不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ.また,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ.
(3)数学的帰納法を用いて,すべての正の整数$n$に対して,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ.
![熊本大学](./img/univ/kumamoto.png)
次の条件によって定められる関数の列$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える.
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ.
(2)$n \geqq 1$のとき,$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し,その単項式を求めよ.
(3)$n \geqq 1$のとき,不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ.
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ.
(2)$n \geqq 1$のとき,$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し,その単項式を求めよ.
(3)$n \geqq 1$のとき,不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
次の問いに答えよ.
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とするとき,不等式$\sin 2 \theta-\sqrt{3}\cos 2 \theta \leqq \sqrt{3}$を解け.
(2)$x,\ y$が不等式$|x-2| \leqq 2y \leqq -|x-2|+4$を満たすとき,$x^2+(y+4)^2$の最大値を求めよ.
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とするとき,不等式$\sin 2 \theta-\sqrt{3}\cos 2 \theta \leqq \sqrt{3}$を解け.
(2)$x,\ y$が不等式$|x-2| \leqq 2y \leqq -|x-2|+4$を満たすとき,$x^2+(y+4)^2$の最大値を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け.
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において,曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ.
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け.
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において,曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ.
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
曲線$y=\log x$の接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して,次の問いに答えよ.以下,$k$は自然数とする.
(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし,${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする.また,$k \geqq 2$のとき,$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$,$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$,${\mathrm{C}_k}^\prime$とする.四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ.
(2)次の2つの値の大小を比較せよ.
(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$(ただし,$k \geqq 2$)
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$(ただし,$k \geqq 1$)
(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと,2以上の自然数$n$について,次の不等式が成り立つことを示せ.
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき,次の不等式を示せ.
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]
(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし,${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする.また,$k \geqq 2$のとき,$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$,$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$,${\mathrm{C}_k}^\prime$とする.四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ.
(2)次の2つの値の大小を比較せよ.
(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$(ただし,$k \geqq 2$)
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$(ただし,$k \geqq 1$)
(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと,2以上の自然数$n$について,次の不等式が成り立つことを示せ.
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき,次の不等式を示せ.
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]
![大分大学](./img/univ/oita.png)
曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする.直線$\ell$,直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする.
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい.
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい.
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい.
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい.
![大分大学](./img/univ/oita.png)
次の問いに答えよ.
(1)正弦定理の証明をせよ.ただし,鋭角三角形の場合だけの証明でよい.
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ.ただし,$n$は自然数である.
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]
(1)正弦定理の証明をせよ.ただし,鋭角三角形の場合だけの証明でよい.
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ.ただし,$n$は自然数である.
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき,その点を格子点という.本問では,「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする.
(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする.領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある.
(2)$n$を自然数として,不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする.領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である.
(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする.領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある.
(2)$n$を自然数として,不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする.領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
不等式
\[ |y| - |x(x-1)| \leqq 0 \]
の表す領域を$S$とする.
(1)$S$において,不等式
\[ -\frac{9}{10} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$T$とする.$T$に含まれる点$(x,\ y)$に対し,$y$の最大値は[テ]である.
(2)$S$において,不等式
\[ -\frac{1}{20} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$U$とする.領域$U$における関数$x+9y$の最大値は[ト]で,最小値は[ナ]である.
\[ |y| - |x(x-1)| \leqq 0 \]
の表す領域を$S$とする.
(1)$S$において,不等式
\[ -\frac{9}{10} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$T$とする.$T$に含まれる点$(x,\ y)$に対し,$y$の最大値は[テ]である.
(2)$S$において,不等式
\[ -\frac{1}{20} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$U$とする.領域$U$における関数$x+9y$の最大値は[ト]で,最小値は[ナ]である.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ.
(1)$z^2 = -2i$のとき,$z$を求めると,
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である.ただし,$i^2=-1$である.
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき,
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は,
\[ [ア]<x<[イ] \]
である.
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし,交点をそれぞれ$\mathrm{O}$(原点),$\mathrm{A}$とする.$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし,$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると,
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である.
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$,事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$,事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする.このとき,事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である.
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし,$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である.
(1)$z^2 = -2i$のとき,$z$を求めると,
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である.ただし,$i^2=-1$である.
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき,
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は,
\[ [ア]<x<[イ] \]
である.
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし,交点をそれぞれ$\mathrm{O}$(原点),$\mathrm{A}$とする.$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし,$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると,
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である.
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$,事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$,事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする.このとき,事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である.
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし,$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である.