座標平面において，2点A$(1,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を原点のまわりに$\theta$だけ回転した点をそれぞれC，Dとおく，ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．点Cを通り直線CDと垂直に交わる直線を$\ell$とし，点Dを通り直線CDと垂直に交わる直線を$m$とする．また，直線$\ell$と直線$m$によりはさまれた領域を$S$とし，不等式$0 \leqq y \leqq x$の表す領域を$T$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geqq x+y+a\sqrt{xy} \]
が任意の正の実数$x,\ y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．
(2)$0$以上$1$以下の実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して
\[ abcd \leqq \frac{4}{27} \ \text{または} \ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \frac{4}{27} \]
が成り立つことを証明せよ．

自然数$n$に対し
\begin{eqnarray}
& & S_n=\int_0^1 \frac{1-(-x)^n}{1+x} \, dx \nonumber \\
& & T_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)} \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \left| S_n-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \frac{1}{n+1} \]
(2)$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

長さ2の線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Pをとる．このとき，下の問いに答えよ．

(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の不等式を解きなさい．
\[ -2(\log_2x)^2+9\log_82x<1 \]
(2)放物線$y=-x^2$に，点$\mathrm{A}(0,\ a)$から引いた$2$本の接線のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{2}$になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \sin 2x \, dx$を求めなさい．

$f(x)=e^{-x^2} \ (x \geqq 0)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$x \geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ．
(3)$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ．
(4)$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y＝ f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(5)(4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ．

平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．

平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．