実数$a$に対し，不等式
\[ y \leqq 2ax-a^2+2a+2 \]
の表す座標平面内の領域を$D(a)$とおく．

(1)$-1 \leqq a \leqq 2$を満たすすべての$a$に対し$D(a)$の点となるような点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ．
(2)$-1 \leqq a \leqq 2$を満たすいずれかの$a$に対し$D(a)$の点となるような点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とする．空間内に3点A$(a,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ b,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ c)$がある．

(1)辺ABを底辺とするとき，$\triangle$ABCの高さを$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\triangle$ABC，$\triangle$OAB，$\triangle$OBC，$\triangle$OCAの面積をそれぞれ$S,\ S_1,\ S_2,\ S_3$とする．ただし，Oは原点である．このとき，不等式
\[ \sqrt{3}S \geqq S_1 +S_2+S_3 \]
が成り立つことを示せ．
(3)(2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2+q$とおく．

(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

$a$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．
(2)$x \geqq 3$のとき，不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値
\[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \]
を求めよ．
(3)$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．

$\displaystyle f(x) = \frac{3\sqrt{3}}{4}-\sin 2x, g(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}-2\cos x$とする．

(1)関数$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2$の不定積分を求めよ．
(2)すべての実数$x$に対して，不等式$\sin 2x \leqq a-2\cos x$が成り立つような定数$a$の中で最小の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2|\, dx$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)実数$x$に関する連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x \geqq -1 \\
2 \cdot 3^x + a\; 3^{-x} \leqq 1
\end{array}
\right. \]
が解をもつような実数 aの範囲を求めよ．
(2)$x \geqq -1$を満たすすべての実数$x$に対し不等式
\[ 3^x + a\; 3^{-x} \geqq a \]
が成り立つような実数$a$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．不等式
\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a}+\frac{k}{b} \]
を満たす$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．2次関数$f(x)=ax^2-2x+b$の定義域を$-1 \leqq x \leqq 2$とし，$f(-1)<f(2)$を満たすとする．関数$y=f(x)$の値域が$-1 \leqq y \leqq 7$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2 +q$とおく．

(1)放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1)$，$(p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して
\[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

放物線$\displaystyle F:y=\frac{1}{2}(x+1)^2$上の点A$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を通り，Aにおける$F$の接線に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と放物線$F$との交点のうち点Aと異なる方をB$\displaystyle \left( b,\ \frac{1}{2}(b+1)^2 \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式と$b$の値を求めよ．
(2)放物線$F$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．
(3)線分ABを直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$\displaystyle y \leqq \frac{1}{2}(x+1)^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．