以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$を正の実数とするとき，不等式$a+b \geqq 2\sqrt{ab}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは，どのようなときか．
(2)$p$と$q$を$1$より大きい実数とするとき，$\log_pq+4\log_qp$の最小値を求めよ．また，その最小値をとるのは，$p$と$q$がどのような関係をみたすときか．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において扇形$\mathrm{OAB}$を考える．ただし，点$\mathrm{A}$は$(1,\ 0)$であり，点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．扇形$\mathrm{OAB}$の中心角は，$x$ラジアン$\displaystyle \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$であるとする．点$\mathrm{B}$から$\mathrm{OA}$におろした垂線を$\mathrm{BC}$，点$\mathrm{A}$における円の接線が，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$を通る直線と交わる点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ODA}$，三角形$\mathrm{OAB}$，扇形$\mathrm{OAB}$の面積を，$x$を用いてそれぞれ表せ．
(2)不等式$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1$を示せ．ただし，$x \to +0$は，$x$が正の値をとりながら限りなく$0$に近づくことを表す．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は$t=[　]$のとき，最小値$[　]$をとる．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$において$\sin 2\theta-2 \cos \theta=0$のとき，$\theta=[　]$である．
(4)不等式$\log_3(2x-3)<2$をみたす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$4$つの袋があり，各袋に赤，青，黄の玉が$1$つずつ入っている．各袋から$1$つずつ玉を取り出すとき，取り出した$4$つの玉がすべて同じ色である確率は$[　]$であり，$2$種類の色である確率は$[　]$である．

実数$t$を$0<t \leqq 1$とし，図$1$の斜線部分の図形$A$の面積を$S(t)$で表す．次の問に答えなさい．

(1)$S(t)$を$t$の式で表しなさい．
(2)図$2$，図$3$を参考にして，不等式
\[ (1-\sqrt{t})^2 \leqq S(1)-S(t) \leqq (1-t)^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(3)(2)の不等式を参考にして，不等式
\[ 2(t-\sqrt{t}) \leqq t \log t \leqq t(t-1) \]
が成り立つことを示しなさい．
（図は省略）

$a$は定数で$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{a}{1+(a-1)e^{-x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)不等式$0<f(x)<a$が成り立つことを示せ．また，極限$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$および$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(2)$a=3$のとき，$y=f(x)$のグラフの概形を，極値および変曲点を調べてかけ．
(3)$p$は定数で$p<0$とする．$a=3$のとき，定積分$\displaystyle I(p)=\int_p^0 f(x) \, dx$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{p \to -\infty}I(p)$を求めよ．

円$x^2+(y-a)^2=r^2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ r$は正の実数とする．

(1)$a \geqq r$のとき，$V(a)$を求めよ．
(2)$0<a<r$とする．

(i) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\sin \theta<\theta<\tan \theta$が成り立つ．このことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(r+a) \sqrt{r^2-a^2}}{2}<\int_0^{\sqrt{r^2-a^2}} \sqrt{r^2-x^2} \, dx<\frac{(r^2+a^2) \sqrt{r^2-a^2}}{2a} \]
(ii) $(ⅰ)$の結果を用いて，
\[ \frac{2\pi (a-r)(a+r) \sqrt{r^2-a^2}}{3}<V(a)-2\pi^2ar^2<\frac{2\pi (a-r)(a-2r) \sqrt{r^2-a^2}}{3} \]
が成り立つことを示せ．

以下の各問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．$2 \log_{\frac{1}{4}} (4x+1) \geqq 1+\log_{\frac{1}{2}} (11-x)$
(2)以下の問に答えよ．

(i) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．$\displaystyle f(x)=x^2-2x+3 \int_0^1 f(t) \, dt$
(ii) $(ⅰ)$で求めた$f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -2 \right)$から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．
(iii) $(ⅰ)$，$(ⅱ)$で求めた関数$f(x)$と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とし，$n$個の整数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は以下の$3$条件を満たすとする．

条件$(ⅰ)$：$a_1 \geqq 2$
条件$(ⅱ)$：$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n$
条件$(ⅲ)$：$1 \leqq i<j \leqq n$を満たす任意の整数$i,\ j$に対して，不等式
\[ a_i+a_j>0 \]
が成り立つ．

このとき，不等式
\[ \sum_{i=1}^n a_i \geqq n \]
が成り立つことを証明せよ．また，この不等式において等号が成り立つ場合の$n$の値，および$n$個の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$をすべて求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$1$次不等式$8 |x-1|<3x+4$を満たす$x$の範囲は，$[ア]<x<[イ]$である．
(2)放物線$y=3x^2$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動した後に，$x$軸に関して対称移動したところ，$y=-3x^2+18x-25$となった．このとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(3)$2$次不等式$x^2+2(a+2)x+2a^2+a-6>0$が任意の実数$x$に対して成り立つような定数$a$の値の範囲は，$a<[オ]$，$[カ]<a$である．
(4)$8 \cos^2 \theta-2 \sin \theta-5=0 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を満たす$\theta$は，$[キ]$と$[ク]$である．
(5)$9$冊の異なる本を$4$冊，$3$冊，$2$冊の$3$組に分ける方法は$[ケ]$通りある．また，$3$冊ずつ$3$組に分ける方法は$[コ]$通りある．

$n$は$2$以上の整数であり，$\displaystyle\frac{1}{2} < a_j < 1\ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$であるとき，不等式
\[ (1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n) > 1- \left( a_1+ \frac{a_2}{2}+ \cdots +\frac{a_n}{2^{n-1}} \right) \]
が成立することを示せ．