次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を入れよ．

(1)$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta = - \displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．　　　　　
(2)不等式$|5x-41|<2x+1$を満たす整数$x$の最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)$(x-3y+z)^6$の展開式における，$x^2y^2z^2$の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$2$辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする．このとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=[ア]$となる．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = [イ]\overrightarrow{\mathrm{MN}}$である．

次の問いに答えよ．問い$(1)$～$(3)$については，$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)$x$の$2$次不等式
\[ 6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0 \]
をみたす整数$x$が$10$個となるように，正の整数$a$の値を定めると$[ア]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{3}$とし外心を$\mathrm{O}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす実数$s,\ t$の値は$s=[イ],\ t=[ウ]$である．
(3)袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$1$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜて，袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$に入っている白玉の個数を$X$とすると，$X=0$となる確率は$[エ]$であり，$X=2$となる確率は$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=|x^3|$が$x=0$で微分可能であるかどうか調べよ．

次の空欄に適する数，数式を入れよ．

(1)$f(x)=|2 \sin x-\cos 2x+\displaystyle\frac{1|{2}}$とおく．$\sin x=[ア]$のとき$f(x)$は最大値$\displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]}$をとる．また，$\sin x = \displaystyle\frac{[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき$f(x)$は最小値[キ]をとる．
(2)$x,\ y,\ z$は次の条件を満たす実数とする．
\[ 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq \frac{4}{5}, \quad x+2y+z = 1 \]
このとき，$y$の最小値は$\displaystyle\frac{[ク]}{[ケ]}$，最大値は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)不等式
\[ \log_2 x - 6\log_x 2 \geqq 1 \]
の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x < [セ], \quad x \geqq [ソ] \]
である．

$f(x)=x^2-5$として，数列$\{a_n\}$を次のように定義する．\\
\quad $a_1=3$，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_{n+1}$とする$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$。\\
\quad 次の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)命題$P(n)$を$\lceil \sqrt{5} < a_{n+1} < a_n \rfloor$とするとき，すべての正の整数$n$に対して$P(n)$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数$r$が存在することを示せ．

(4)$a_{n+1}-\sqrt{5} \leqq r(a_n-\sqrt{5}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(5)$a_n -\sqrt{5} \leqq r^{n-1} \quad (n= 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

次の問いに答えよ．

(1)$a>0$として，$x=\log_2 a$とおく．
$x=5$のとき，$a=[アイ]$である．次に，$2a \neq 1$のとき，不等式
\[ \log_2 256a > 3 \log_{2a} a\]
の左辺は$[ウ]+x$，右辺は$\displaystyle \frac{[エ]x}{[オ]+x}$である．したがって，上の不等式を満たす$x$の値の範囲は
\[ [カキ] < x < [クケ],\quad x > [コサ] \]
である．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$を満たすとする．また，
\[ s=\frac{1}{4}\cos \theta, \quad t=\frac{16\sqrt{3}}{3}\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
とおく．$s$のとり得る値の範囲は
\[ 2^{\frac{[シス]}{[セ]}} \leqq s \leqq 2^{[ソタ]} \]
であり，$t$のとり得る値の範囲は
\[ [チ]\sqrt{[ツ]} - \frac{[テ]\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq t \leqq [ニ] \]
である．
\[ st=[ヌ]+\frac{[ネ]\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \sin \left( 2\theta + \frac{[ヒ]}{[フ]}\pi \right) \]
であり，$st<1$となる$\theta$の値の範囲は，$\displaystyle \theta > \frac{\pi}{[ヘ]}$である．

$x,\ y$が3つの不等式$:\ 2x+y \geqq 0, x+2y \leqq 6, 4x-y \leqq 6$を満たすとき，$y-x$の最大値を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ク]$に当てはまるものをそれぞれ答えよ．

放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{x^2}{8}+4$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{4}=2$を考える．

$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$での接線の方程式は
\[ y= [ア]x-[イ] \]
である．$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$における接線が同時に$C_2$の接線でもあるような$a$の値は全部で$4$個ある．それらを小さい方から順に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とすれば，$a_1=[ウ],\ a_2=[エ]$である．$C_2$の囲む図形の面積は$[オ]$である．点$(4a_1,\ 2{a_1}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=f(x)$，点$(4a_4,\ 2{a_4}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=g(x)$とする．このとき，$y=g(x)$と$C_2$の接点は$([カ],\ [キ])$である．$6$つの不等式

$\displaystyle y \geqq f(x),\quad y \geqq g(x),\quad x^2+\frac{y^2}{4} \geqq 2,\quad y \leqq \frac{x^2}{8}+4,$
$4a_1 \leqq x \leqq 4a_4,\quad [キ] \leqq y$

を同時にみたす領域の面積は$[ク]-3\pi$である．

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．

$x,\ y$が$3$つの不等式：$2x+y \geqq 0$，$x+2y \leqq 6$，$4x-y \leqq 6$を満たすとき，$y-x$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次不等式$x^2+2x-15<0$を解け．
(2)次の連立不等式が解を持たないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+2x-15<0 \\
ax-3 \geqq 0
\end{array}
\right. \]