$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ．
(2)$0<r<1$とし，$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく．

(i) $S_n-rS_n$を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ．

(3)$a>0,\ b>0$に対して，不等式
\[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ．

関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．

(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n>1$となることを示せ．
(2)$\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ．
(4)$0<r<1$を満たすある実数$r$に対して，不等式
\[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)多項式$f(x)$を$x-1$で割ると$3$余り，$x-2$で割ると$2$余るとき，$f(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
(2)不等式$0<\log (x^2-4x+3)-\log (x^2-6x+8)<\log 2$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=x^2+\int_0^x f^\prime(t) e^{t-x} \, dt$を満たしているとき，$f(x)$を求めよ．

$k$を正の定数とする．$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
y=x^2 & \cdots\cdots① \\
y=x^2+k & \cdots\cdots②
\end{array} \]
を考える．次の問に答えよ．

(1)放物線$②$上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
(2)放物線$①$と接線$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$①$と接線$\ell$で囲まれた領域$A$の面積を求めよ．
(4)不等式$x \geqq p$の表す領域と領域$A$の共通部分の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．

$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．

(1)$S(0)=[ト]$である．
(2)$f(x)$は$x=[ナ]$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$[ナ]$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=[ニ] \ (x>0)$である．
(3)$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$[ヌ]$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=[ネ]$となる．

以下の$[　]$にあてはまる値を答えよ．
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 -3x -1+|x^2-2x-3| \]
とおく．

(1)不等式$x^2-2x-3 \leqq 0$を解くと$[あ]$となる．
(2)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めると$[い]$となる．
(3)関数$y=f(x)$の定義域を$-2 \leqq x \leqq 5$とするとき，値域は$[う]$となる．